Cho các số thực x,y thỏa mãn ln y ≥ ln ( x 3 + 2 ) − ln 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = e 4 y − x 3 − x − 2 − 2 x 2 + y 2 ​ + x ( y + 1 ) − y

Giải thích

Chọn C Điều kiện: y > 0 , x > − 3 2 ​ Từ giả thiết ta có: ln y + ln 3 ≥ ln ( x 3 + 2 ) ⇔ ln 3 y ≥ ln ( x 3 + 2 ) ⇔ 3 y ≥ x 3 + 2 ⇔ 3 ( y − x ) ≥ x 3 − 3 x + 2 Xét hàm số h ( x ) = x 3 − 3 x + 2 trên ( − 3 2 ​ ; + ∞ ) Ta có: h ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 h ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ [ x = − 1 x = 1 ​ h ( − 1 ) = 4 , h ( 1 ) = 0 , h ( − 3 2 ​ ) = 3 3 2 ​ > 0 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: ( − 3 2 ​ ; + ∞ ) min ​ h ( x ) = 0 Suy ra: 3 ( y − x ) ≥ 0 ⇔ y − x ≥ 0 Ta có: H = e 4 y − x 3 − x − 2 − 2 x 2 + y 2 ​ + x ( y + 1 ) − y = e y − x + 3 y − ( x 3 + 2 ) − 2 ( y − x ) 2 ​ − ( y − x ) ≥ e y − x − 2 ( y − x ) 2 ​ − ( y − x ) Xét hàm số g ( t ) = e t − 2 1 ​ t 2 − t trên [ 0 ; + ∞ ) Ta có: g ′ ( t ) = e t − t − 1 , g ′′ ( t ) = e t − 1 Ta có: ∀ t ≥ 0 ⇒ g ′′ ( t ) = e t − 1 ≥ e 0 − 1 = 0 , suy ra hàm số g ′ ( t ) đồng biến trên [ 0 ; + ∞ ) Vậy [ 0 ; + ∞ ) min ​ g ( t ) = g ( 0 ) = 1 , Suy ra: H min ​ = 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: { x = y 3 y = x 3 + 2 ​ ⇔ x = y = 1