Cho các số thực x , y , thỏa mãn 4 x 2 + 4 y 2 − 2 x 2 + 4 y 2 + 1 = 2 3 − x 2 − 4 y 2 − 4 2 − x 2 − 4 y 2 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P = x + y + 4 x − 2 y − 1 ​ . Tổng M + n bằng

Giải thích

Chọn A Đặt t = 2 x 2 + 4 y 2 , điều kiện t > 0 khi đó 4 x 2 + 4 y 2 − 2 x 2 + 4 y 2 + 1 = 2 3 − x 2 − 4 y 2 − 4 2 − x 2 − 4 y 2 đưa về: t 2 − 2 t = t 8 ​ − t 2 16 ​ ⇔ ( t + t 4 ​ ) 2 − 2 ( t + t 4 ​ ) − 8 = 0 (1) Với điều kiện t > 0 nên (1) ⇔ t + t 4 ​ = 4 ⇔ t = 2 . Suy ra x 2 + 4 y 2 = 1 suy ra tồn tại 0 ≤ a ≤ 2 π để { x = sin a 2 y = cos a ​ Khi đó P = sin a + 2 1 ​ cos a + 4 sin a − cos a − 1 ​ = 2 sin a + cos a + 8 2 sin a − 2 cos a − 2 ​ ⇔ ( 2 P ) sin a + ( P + 2 ) cos a = − 2 − 8 P . Điều kiện để tồn tại giá trị của thỏa mãn khi và chỉ khi ( − 2 − 8 P ) 2 ≤ ( 2 P − 2 ) 2 + ( P + 2 ) 2 ⇔ 59 P 2 + 36 P − 2 ≤ 0 ⇔ 59 − 18 − 442 ​ ​ ≤ P ≤ 59 − 18 + 442 ​ ​ Vậy { m = 59 − 18 − 442 ​ ​ M = 59 − 18 + 442 ​ ​ ​ ⇒ m + M = 59 − 36 ​