Câu hỏi

Cho các số thực a , b , c thỏa mãn a > 1 , b > 2 1 , c > 3 1 và a 1 + 2 b + 1 2 + 3 c + 2 3 ≥ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ( a − 1 ) ( 2 b − 1 ) ( 3 c − 1 ) .

Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a > 1, b > \frac{1}{2}, c > \frac{1}{3}$ và $\frac{1}{a} + \frac{2}{2 b + 1} + \frac{3}{3 c + 2} \geq 2.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = (a - 1) (2 b - 1) (3 c - 1) .$

$\frac{3}{4} .$
$\frac{4}{3} .$
$\frac{3}{2} .$
$\frac{2}{3} .$

R. Robo.Ctvx4

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Từ a 1 + 2 b + 1 2 + 3 c + 2 3 ≥ 2 suy ra a 1 ≥ ( 1 − 2 b + 1 2 ) + ( 1 − 3 c + 2 3 ) = 2 b + 1 2 b − 1 + 3 c + 2 3 c − 1 . 2 b + 1 2 ≥ ( 1 − a 1 ) + ( 1 − 3 c + 2 3 ) = a a − 1 + 3 c + 2 3 c − 1 . 3 c + 2 3 ≥ ( 1 − a 1 ) + ( 1 − 2 b + 1 2 ) = a a − 1 + 2 b + 1 2 b − 1 . Theo đề bài a − 1 > 0 , 2 b − 1 > 0 , 3 c − 1 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a 1 ≥ 2 b + 1 2 b − 1 + 3 c + 2 3 c − 1 ≥ 2 2 b + 1 2 b − 1 . 3 c + 2 3 c − 1 ⇒ ( 2 b − 1 ) ( 3 c − 1 ) ≤ 2 a ( 2 b + 1 ) ( 3 c + 2 ) . ( 1 ) 2 b + 1 2 ≥ a a − 1 + 3 c + 2 3 c − 1 ≥ 2 a a − 1 . 3 c + 2 3 c − 1 ⇒ ( a − 1 ) ( 3 c − 1 ) ≤ 2 b + 1 a ( 3 c + 2 ) . ( 2 ) 3 c + 2 3 ≥ a a − 1 + 2 b + 1 2 b − 1 ≥ 2 a a − 1 . 2 b + 1 2 b − 1 ⇒ ( a − 1 ) ( 2 b − 1 ) ≤ 3 ( 3 c + 2 ) 3 a ( 2 b + 1 ) . ( 3 ) Nhân các vế của (1), (2), (3) ta có ( a − 1 ) ( 3 c − 1 ) ≤ 4 3 . Đẳng thức xảy ra ⇔ { a 1 + 2 b + 1 2 + 3 c + 2 3 = 2 a 1 = 2 b + 1 2 = 3 c + 2 3 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ a = 2 3 b = 1 c = 6 5 . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 4 3 . Chọn đáp án A.

Từ $\frac{1}{a} + \frac{2}{2 b + 1} + \frac{3}{3 c + 2} \geq 2$ suy ra

$\frac{1}{a} \geq (1 - \frac{2}{2 b + 1}) + (1 - \frac{3}{3 c + 2}) = \frac{2 b - 1}{2 b + 1} + \frac{3 c - 1}{3 c + 2} .$
$\frac{2}{2 b + 1} \geq (1 - \frac{1}{a}) + (1 - \frac{3}{3 c + 2}) = \frac{a - 1}{a} + \frac{3 c - 1}{3 c + 2} .$
$\frac{3}{3 c + 2} \geq (1 - \frac{1}{a}) + (1 - \frac{2}{2 b + 1}) = \frac{a - 1}{a} + \frac{2 b - 1}{2 b + 1} .$

Theo đề bài $a - 1 > 0, 2 b - 1 > 0, 3 c - 1 > 0.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$\frac{1}{a} \geq \frac{2 b - 1}{2 b + 1} + \frac{3 c - 1}{3 c + 2} \geq 2 \frac{2 b - 1}{2 b + 1} . \frac{3 c - 1}{3 c + 2} \Rightarrow (2 b - 1) (3 c - 1) \leq \frac{( 2 b + 1 ) ( 3 c + 2 )}{2 a} . (1)$
$\frac{2}{2 b + 1} \geq \frac{a - 1}{a} + \frac{3 c - 1}{3 c + 2} \geq 2 \frac{a - 1}{a} . \frac{3 c - 1}{3 c + 2} \Rightarrow (a - 1) (3 c - 1) \leq \frac{a ( 3 c + 2 )}{2 b + 1} . (2)$
$\frac{3}{3 c + 2} \geq \frac{a - 1}{a} + \frac{2 b - 1}{2 b + 1} \geq 2 \frac{a - 1}{a} . \frac{2 b - 1}{2 b + 1} \Rightarrow (a - 1) (2 b - 1) \leq \frac{3 a ( 2 b + 1 )}{3 ( 3 c + 2 )} . (3)$

Nhân các vế của (1), (2), (3) ta có $(a - 1) (3 c - 1) \leq \frac{3}{4} .$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow {\frac{1}{a} + \frac{2}{2 b + 1} + \frac{3}{3 c + 2} = 2 \frac{1}{a} = \frac{2}{2 b + 1} = \frac{3}{3 c + 2} \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a = \frac{3}{2} b = 1 c = \frac{5}{6} .$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng $\frac{3}{4} .$

Chọn đáp án A.

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( a + b ) 2 a 2 + ( b + c ) 2 b 2 + 4 a c

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng ∀ a , b , c ≥ 0 ta có bất đẳng thức sau luôn đúng: S = 4 a 4 + b 4 + 4 b 4 + c 4 + 4 c 4 + a 4 ≥ 4 2 ( a + b + c )

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức S = a + bc a + b + ca b + c + ab abc

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c > 0. Chứng minh: ( 1 + a 3 b 3 c 3 ) ( 1 + b 3 c 3 a 3 ) ( 1 + c 3 a 3 b 3 ) ≥ ≥ ( 1 + a bc 3 ) ( 1 + b ca 3 ) ( 1 + c ab 3 ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 1 . Chứng minh: a + b + b + c + c + a ≥ 2 2 3 3 ( 1 + ab + bc + ca ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG