Câu hỏi

Cho các số thực dương a, b thoả: (a 2 + 4b 2 ) 2 + 3a 2 b 2 = 2(a 2 + b 2 )(a 2 + 2b 2 ).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = b 3 a 3 + b 3 + a 3 8 b 3 + ab ( a 2 + 2 b 2 ) [ ( a + b ) 2 + 2 a 2 + 5 b 2 ] [ ( a − b ) 2 + 2 a 2 + 5 b 2 ]

Cho các số thực dương a, b thoả: (a² + 4b²)² + 3a²b² = 2(a² + b²)(a² + 2b²).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{a ^{3} + b ^{3}}{b ^{3}} + \frac{8 b ^{3}}{a ^{3}} + \frac{[ ( a + b ) ^{2} + 2 a ^{2} + 5 b ^{2} ] [ ( a - b ) ^{2} + 2 a ^{2} + 5 b ^{2} ]}{ab ( a ^{2} + 2 b ^{2} )}$

P. Toàn

Giáo viên

University of Pedagogy

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có: (a 2 + 4b 2 ) 2 + 3a 2 b 2 = 2(a 2 + b 2 )(a 2 + 2b 2 ) ≥ 4ab(a 2 + 2b 2 ) Suy ra: ( b a + a 2 b ) 2 + 3 ≥ 4 ( b a + a 2 b ) ⇔ b a + a 2 b ≥ 3 Đặt t = b a + a 2 b ≥ 3 Khi đó: P = b 3 a 3 + b 3 + a 3 8 b 3 + 1 + ab ( a 2 + 2 b 2 ) 9 ( a 2 + 2 b 2 ) − 4 a 2 b 2 = ( b a + a 2 b ) 3 − 6 ( b a + a 2 b ) + 1 + 9 ( b a + a 2 b ) − b a + a 2 b 4 = t 3 + 3 t + 1 − t 4 = f ( t ) Vì f(t) là hàm đồng biến trên ∀ t ≥ 3 ⇒ P ≥ f ( 3 ) = 3 107 Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1. Vậy min P = 3 107 .

Ta có: (a² + 4b²)² + 3a²b² = 2(a² + b²)(a² + 2b²) $\geq$ 4ab(a² + 2b²)

Suy ra: $(\frac{a}{b} + \frac{2 b}{a})^{2} + 3 \geq 4 (\frac{a}{b} + \frac{2 b}{a}) \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{2 b}{a} \geq 3$

Đặt t = $\frac{a}{b} + \frac{2 b}{a} \geq 3$

Khi đó: $P = \frac{a ^{3} + b ^{3}}{b ^{3}} + \frac{8 b ^{3}}{a ^{3}} + 1 + \frac{9 ( a ^{2} + 2 b ^{2} ) - 4 a ^{2} b ^{2}}{ab ( a ^{2} + 2 b ^{2} )}$

$= (\frac{a}{b} + \frac{2 b}{a})^{3} - 6 (\frac{a}{b} + \frac{2 b}{a}) + 1 + 9 (\frac{a}{b} + \frac{2 b}{a}) - \frac{4}{\frac{a}{b} + \frac{2 b}{a}} = t^{3} + 3 t + 1 - \frac{4}{t} = f (t)$

Vì f(t) là hàm đồng biến trên $\forall t \geq 3 \Rightarrow P \geq f (3) = \frac{107}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1. Vậy min P = $\frac{107}{3} .$

Câu hỏi tương tự

Một người tham gia đóng tiền bảo hiềm cho con từ lúc con tròn 6 tuồi, hằng tháng đều đặn đóng M đồng với lãi suất 0,52% một tháng. Trong quá trình đó, anh ta không rút tiền ra và giả sử lãi suất không...

Xác nhận câu trả lời

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M,N là trung điểm của SA,SB . Mặt phẳng MNCD chia hình chóp đã cho thành hai phần. tỉ số thể tích hai phần S.MNCD và MNABC...

Xác nhận câu trả lời

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy,AD=DC=a, AB=2a , cạnh sc hợp với đáy một góc 30 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a?

Xác nhận câu trả lời

Giả sử cứ sau một năm diện tích rừng của nước ta giảm xphần trăm diện tích hiện có. Hỏi sau 4năm diện tích rừng của nước ta sẽ là bao nhiêu lần diện tích hiện nay?

Xác nhận câu trả lời

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn lo g 4 a = lo g 6 b = lo g 9 ( a + b ) Tính b a

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG