Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c = 3và làm cho các biểu thức của bất đẳng thức luôn xác định. Chứng minh rằng:

Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh: a 2 + bc a ( b + c ) ​ ​ + b 2 + ca b ( c + a ) ​ ​ + c 2 + ab c ( a + b ) ​ ​ ≤ ≤ ( a ​ + b ​ + c ​ ) ( a ​ 1 ​ + b ​ 1 ​ + c ​ 1 ​ ) ​ ( 1 )

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: 2 ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) ( 1 + c 2 ) ≥ ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ( 1 + abc ) (1)

Cho x, y ∈ R thỏa mãn 2x - y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f ( x , y ) = x 2 + ( y + 1 ) 2 ​ + x 2 + ( y − 3 ) 2 ​

Cho x ∈ [ 0 , 1 ] . Tìm giá trị lớn nhất của S = 13 x 2 − x 4 ​ + 9 x 2 + x 4 ​

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 1 ​ . Chứng minh: a + b ​ + b + c ​ + c + a ​ ≥ 2 2 ​ 3 3 ​ ​ ( 1 + ab + bc + ca ) ( 1 )