Câu hỏi

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng a 2 + ab + b 2 a 2 + b 2 + b c + c 2 b 2 + c 2 + c a + a 2 c 2 ≥ 1

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

$\frac{a ^{2}}{a ^{2} + ab + b ^{2}} + \frac{b ^{2}}{b ^{2} + b c + c ^{2}} + \frac{c ^{2}}{c ^{2} + c a + a ^{2}} \geq 1$

R. Robo.Ctvx28

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Bất đẳng thức đã cho viết lại thành 1 + a b + ( a b ) 2 1 + 1 + b c + ( b c ) 2 1 + 1 + c a + ( c a ) 2 1 ≥ 1 Đặt x = a b , y = b c , z = c a ⇒ x , y , z > 0 , x yz = 1 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 1 + x + x 2 1 + 1 + y + y 2 1 + 1 + z + z 2 1 ≥ 1 Bất đẳngthức trên tương đương với ( 1 + x + x 2 ) ( 1 + y + y 2 ) + ( 1 + y + y 2 ) ( 1 + z + z 2 ) + ( 1 + z + z 2 ) ( 1 + x + x 2 ) ≥ ( 1 + x + x 2 ) ( 1 + y + y 2 ) + ( 1 + z + z 2 ) Khi triển và sử dụng x yz = 1 , rút gọn ta được x 2 + y 2 + z 2 ≥ x y + yz + z x ⇔ ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x ) 2 ≥ 0 (luôn đúng) Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 ⇔ a = b = c

Bất đẳng thức đã cho viết lại thành

$\frac{1}{1 + \frac{b}{a} + ( \frac{b}{a} ) ^{2}} + \frac{1}{1 + \frac{c}{b} + ( \frac{c}{b} ) ^{2}} + \frac{1}{1 + \frac{a}{c} + ( \frac{a}{c} ) ^{2}} \geq 1$

Đặt $x = \frac{b}{a}, y = \frac{c}{b}, z = \frac{a}{c} \Rightarrow x, y, z > 0, x yz = 1$ . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành

$\frac{1}{1 + x + x ^{2}} + \frac{1}{1 + y + y ^{2}} + \frac{1}{1 + z + z ^{2}} \geq 1$

Bất đẳng thức trên tương đương với

$(1 + x + x^{2}) (1 + y + y^{2}) + (1 + y + y^{2}) (1 + z + z^{2}) + (1 + z + z^{2}) (1 + x + x^{2}) \geq (1 + x + x^{2}) (1 + y + y^{2}) + (1 + z + z^{2})$

Khi triển và sử dụng $x yz = 1$ , rút gọn ta được

$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + yz + z x$

$\Leftrightarrow (x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2} \geq 0$ (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = 1 \Leftrightarrow a = b = c$

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + b c + c a = 1 . Chứng minh rằng a + a 1 + b + b 1 + c + c 1 ≥ 2 ( a + b + c ) Hỏi dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?

Xác nhận câu trả lời

Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab + b c + c a = 1 .Chứng minh rằng 2 ab c ( a + b + c ) ≤ 9 5 + a 4 b 2 + b 4 c 2 + c 4 a 2

Xác nhận câu trả lời

Cho đa thức f ( x ) = x 2 + b x + c .Biết b, c là các hệ số dương và f ( x ) có nghiệm. Chứng minh f ( 2 ) ≥ 9 3 c

Xác nhận câu trả lời

Cho tập hợp A gồm 31 phần tử và dãy gồm m tập con của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau i) Mỗi tập thuộc dãy có ít nhất hai phần tử ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung nhau ít nhất hai phần tử...

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = ( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) ab c

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG