Câu hỏi

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a + 2 b b + b + 2 c c + c + 2 a a ≤ 1

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: $\frac{b}{a + 2 b} + \frac{c}{b + 2 c} + \frac{a}{c + 2 a} \leq 1$

R. Robo.Ctvx28

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

BĐT ⇔ a + 2 b b + b + 2 c c + c + 2 a a ≤ 1 Đặt x = b a ; y = c b ; z = a c . Ta có x, y, z là các số thực dương có tích xyz = 1. Suy ra: b a + 2 1 + c b + 2 1 + a c + 2 1 ≤ 1 ⇔ x + 2 1 + y + 2 1 + z + 2 1 ≤ 1 ⇔ ( x + 2 ) ( y + 2 ) + ( y + 2 ) ( z + 2 ) + ( z + 2 ) ( x + 2 ) ≤ ( x + 2 ) ( y + 2 ) ( z + 2 ) ⇔ ( x y + yz + z x ) + 4 ( x + y + z ) + 12 ≤ x yz + 2 ( x y + yz + z x ) + 4 ( x + y + z ) ⇔ 4 ≤ x yz + x y + yz + z x ⇔ 3 ≤ x y + yz + z x Đây là bất đẳng thức đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho ba số dương ta có: x y + yz + z x ≥ 3 3 ( x yz ) 2 = 3 . Suy ra điều phải chứng minh.

BĐT $\Leftrightarrow$ $\frac{b}{a + 2 b} + \frac{c}{b + 2 c} + \frac{a}{c + 2 a} \leq 1$

Đặt $x = \frac{a}{b}; y = \frac{b}{c}; z = \frac{c}{a}$ . Ta có x, y, z là các số thực dương có tích xyz = 1.

Suy ra:

$\frac{1}{\frac{a}{b} + 2} + \frac{1}{\frac{b}{c} + 2} + \frac{1}{\frac{c}{a} + 2} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{y + 2} + \frac{1}{z + 2} \leq 1 \Leftrightarrow (x + 2) (y + 2) + (y + 2) (z + 2) + (z + 2) (x + 2) \leq (x + 2) (y + 2) (z + 2) \Leftrightarrow (x y + yz + z x) + 4 (x + y + z) + 12 \leq x yz + 2 (x y + yz + z x) + 4 (x + y + z) \Leftrightarrow 4 \leq x yz + x y + yz + z x \Leftrightarrow 3 \leq x y + yz + z x$

Đây là bất đẳng thức đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho ba số dương ta có:

$x y + yz + z x \geq 3 3 (x yz)^{2} = 3$ . Suy ra điều phải chứng minh.

Câu hỏi tương tự

Cho a ∈ R Chứng minh bất đẳng thức:

Xác nhận câu trả lời

Cho a là số thay đổi thỏa mãn − 1 ≤ a ≤ 1 .Tìm giá trị lớn nhất của b sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng: 2 1 − a 4 + ( b − 1 ) ( 1 + a 2 − 1 − a 2 ) + b − 4 ≤ 0

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh: a + bc a + b + ca b + c + ab c ≥ 2 3 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho x 2 + y 2 = 1. Tìm Mincủa biểu thức A = x 1 + y + y 1 + x

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: 2 a 2 + bc 1 + 2 b 2 + ca 1 + 2 c 2 + ab 1 ≥ ≥ a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca 6

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG