Câu hỏi

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 và a + b + c + ab + bc + ca = 6 Tính giá trị của biểu thức A = a 30 + b 4 + c 2022 a 30 + b 4 + c 2021

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a²+ b² + c² = 3 và a + b + c + ab + bc + ca = 6

Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{a ^{30} + b ^{4} + c ^{2021}}{a ^{30} + b ^{4} + c ^{2022}}$

H. Phạm

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có: ⎩ ⎨ ⎧ ( a − 1 ) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 − 2 a + 1 ≥ 0 ⇒ a 2 + 1 ≥ 2 a ( b − 1 ) 2 ≥ 0 ⇔ b 2 − 2 b + 1 ≥ 0 ⇒ b 2 + 1 ≥ 2 b ( c − 1 ) 2 ≥ 0 ⇔ c 2 − 2 c + 1 ≥ 0 ⇒ c 2 + 1 ≥ 2 c ( a − b ) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 − 2 ab + b 2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b 2 ≥ 2 ab ( b − c ) 2 ≥ 0 ⇔ b 2 − 2 b c + c 2 ≥ 0 ⇒ b 2 + c 2 ≥ 2 b c ( c − a ) 2 ≥ 0 ⇔ c 2 − 2 a c + a 2 ≥ 0 ⇒ c 2 + a 2 ≥ 2 a c ⇒ a 2 + 1 + b 2 + 1 + c 2 + 1 + a 2 + b 2 + c 2 + a 2 ≥ 2 a + 2 b + 2 c + 2 ab + 2 b c + 2 a c ⇒ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 3 ≥ 2 ( ab + a c + b c + a + b + c ) ⇒ 3.3 + 3 ≥ 2 ( ab + a c + b c + a + b + c ) ⇒ 2 ( ab + a c + b c + a + b + c ) ≤ 12 ⇒ a + b + c + ab + b c + c a ≤ 6 Mà theo giả thiết: a + b + c + ab + a c + b c = 6 Suy ra dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 A = 1 30 + 1 4 + 1 2022 1 30 + 1 4 + 1 2021 = 3 3 = 1 Vậy A = 1

Ta có:

$⎩ ⎨ ⎧ (a - 1)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} - 2 a + 1 \geq 0 \Rightarrow a^{2} + 1 \geq 2 a (b - 1)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow b^{2} - 2 b + 1 \geq 0 \Rightarrow b^{2} + 1 \geq 2 b (c - 1)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow c^{2} - 2 c + 1 \geq 0 \Rightarrow c^{2} + 1 \geq 2 c (a - b)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} - 2 ab + b^{2} \geq 0 \Rightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 ab (b - c)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow b^{2} - 2 b c + c^{2} \geq 0 \Rightarrow b^{2} + c^{2} \geq 2 b c (c - a)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow c^{2} - 2 a c + a^{2} \geq 0 \Rightarrow c^{2} + a^{2} \geq 2 a c \Rightarrow a^{2} + 1 + b^{2} + 1 + c^{2} + 1 + a^{2} + b^{2} + c^{2} + a^{2} \geq 2 a + 2 b + 2 c + 2 ab + 2 b c + 2 a c \Rightarrow 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 3 \geq 2 (ab + a c + b c + a + b + c) \Rightarrow 3.3 + 3 \geq 2 (ab + a c + b c + a + b + c) \Rightarrow 2 (ab + a c + b c + a + b + c) \leq 12 \Rightarrow a + b + c + ab + b c + c a \leq 6$