Cho các số thực a,b,c không âm thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=a+b+c-4abc.

Giải thích

Không mất tính tổng quát giả sử a≥b≥c thì từ 1 = a 2 + b 2 + c 2 ⇒ 1 ≤ 3 a 2 ⇒ a 2 ≥ 3 1 ​ Mặt khác: 2 bc ≤ b 2 + c 2 = 1 − a 2 ⇒ 0 ≤ 2 bc ≤ 1 − 3 1 ​ = 3 2 ​ ⇒ 0 ≤ bc ≤ 3 1 ​ Ta có: P 2 = [ a ( 1 − 4 bc ) + ( b + c ) .1 ] 2 ≤ [ a 2 + ( b + c ) 2 ] [( 1 − 4 bc ) 2 + 1 ] = ( 1 + 2 bc ) [( 1 − 4 bc ) 2 + 1 ] . Dấu bằng xảy ra khi 1 − bc a ​ = b + c ( ∗ ) . Đặt t = bc ⇒ 0 ≤ t ≤ 3 1 ​ . Suy ra được P 2 ≤ ( 1 + 2 t ) ( 16 t 2 − 8 t + 2 ) = 32 t 3 − 4 t + 2. Xét hàm số f ( t ) = 32 t 3 − 4 t + 2 , t ∈ [ 0 ; 3 1 ​ ] ; f ′ ( t ) = 96 t 2 − 4 = 0 ⇔ [ t = 12 6 ​ ​ t = − 12 6 ​ ​ ( l ) ​ f ( 0 ) = 2 ; f ( 3 1 ​ ) = 27 50 ​ ; f ( 12 6 ​ ​ ) ≈ 1 , 4556. Suy ra GTLN f(t)=2 khi t=0 ⇒ [ b = 0 c = 0 ​ ⇒ ( ∗ ) [ a = c = 2 ​ 1 ​ a = b = 2 ​ 1 ​ ​ Kết luận: ma x P = 2 ​ , đạt được khi { a = b = 2 ​ 1 ​ c = 0 ​ , hoặc các hoán vị của nó.