Câu hỏi

Cho các số thực a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh: a 3 ( b + c ) 1 + b 3 ( c + a ) 1 + c 3 ( a + b ) 1 ≥ 2 3 ( 1 )

Cho các số thực a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:

$\frac{1}{a ^{3} ( b + c )} + \frac{1}{b ^{3} ( c + a )} + \frac{1}{c ^{3} ( a + b )} \geq \frac{3}{2} (1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đặt a 1 = x , b 1 = y , c 1 = z ⇒ { x , y , z > 0 xyz = 1 Khi đó bất đẳng thức (1) ⇔ y + z x 2 + z + x y 2 + x + y z 2 ≥ 2 3 ( 2 ) Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z > 0 ⇒ { x ≥ y ≥ z > 0 y + z x ≥ z + x y ≥ x + y z > 0 Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức AM - GM: y + z x 2 + z + x y 2 + x + y z 2 ≥ ≥ 3 1 ( x + y + z ) ( y + z x + z + x y + x + y z ) = 6 1 [ ( y + z ) + ( z + x ) + ( x + y ) ] ( y + z x + z + x y + x + y z ) ≥ ≥ 6 1 .3 [ y + z x ( y + z ) + z + x y ( z + x ) + x + y z ( x + y ) ] = 2 1 ( x + y + z ) ≥ 2 3 3 xyz = 2 3 ⇒ Bất đẳng thức (2) đúng suy ra (1) đúng Dấu bằng xảy ra⇔ a=b=c=1

Đặt $\frac{1}{a} = x, \frac{1}{b} = y, \frac{1}{c} = z \Rightarrow {x, y, z > 0 xyz = 1$

Khi đó bất đẳng thức (1) $\Leftrightarrow \frac{x ^{2}}{y + z} + \frac{y ^{2}}{z + x} + \frac{z ^{2}}{x + y} \geq \frac{3}{2} (2)$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y \geq z > 0 \Rightarrow {x \geq y \geq z > 0 \frac{x}{y + z} \geq \frac{y}{z + x} \geq \frac{z}{x + y} > 0$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức AM - GM:

$\frac{x ^{2}}{y + z} + \frac{y ^{2}}{z + x} + \frac{z ^{2}}{x + y} \geq \geq \frac{1}{3} (x + y + z) (\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y}) = \frac{1}{6} [(y + z) + (z + x) + (x + y)] (\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y}) \geq \geq \frac{1}{6} .3 [\frac{x}{y + z} (y + z) + \frac{y}{z + x} (z + x) + \frac{z}{x + y} (x + y)] = \frac{1}{2} (x + y + z) \geq \frac{3 3 xyz}{2} = \frac{3}{2}$

⇒ Bất đẳng thức (2) đúng suy ra (1) đúng

Dấu bằng xảy ra ⇔ a=b=c=1

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a + b 1 + b + c 1 + c + a 1 ≥ 3 a 2 + bc 2 a + 3 b 2 + ca 2 b + 3 c 2 + ab 2 c (1)

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn a + b + c + d = 4 ( a 1 + b 1 + c 1 + d 1 ) . Chứng minh: 2 ( a + b + c + d ) ≥ ≥ 3 a 2 + 4 + 3 b 2 + 4 + 3 c 2 + 4 + 3 d 2 + 4 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh: x − 2 x 2 < ln ( 1 + x ) < x ∀ x > 0

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + 2 b + 3 c ≥ 20 . Chứng minh: S = a + b + c + a 3 + 2 b 9 + c 4 ≥ 13

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x). Giả sử f(x) = 0 có n nghiệm thực b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n ≥ 0 và f '(x) = 0 có (n - 1) nghiệm thực a 1 ≥ a 2 ≥ ... ≥ a n − 1 . Gọi ( c 1 , c 2 , ... , c n ) là một hoán...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG