Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh: a 2 + bc a ( b + c ) ​ ​ + b 2 + ca b ( c + a ) ​ ​ + c 2 + ab c ( a + b ) ​ ​ ≤ ≤ ( a ​ + b ​ + c ​ ) ( a ​ 1 ​ + b ​ 1 ​ + c ​ 1 ​ ) ​ ( 1 )

Giải thích

( 1 ) ⇔ ( cyc ∑ ​ a 2 + bc a ( b + c ) ​ ​ ) 2 ≤ ≤ ( a ​ + b ​ + c ​ ) ( a ​ 1 ​ + b ​ 1 ​ + c ​ 1 ​ ) ⇔ cyc ∑ ​ a 2 + bc a ( b + c ) ​ ​ + 2 cyc ∑ ​ ( a 2 + bc ) ( b 2 + ca ) ab ( a + c ) ( b + c ) ​ ​ ≤ 3 + cyc ∑ ​ bc ​ b + c ​ ⇔ cyc ∑ ​ a 2 + bc a ( b + c ) ​ ​ + 2 cyc ∑ ​ ( a 2 + bc ) ( b 2 + ca ) ab ( a + c ) ( b + c ) ​ ​ − cyc ∑ ​ bc ​ b + c ​ − − 3 ≤ 0 ( 2 ) Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: cyc ∑ ​ a 2 + bc a ( b + c ) ​ ​ ≤ cyc ∑ ​ 2 a 2 bc ​ a ( b + c ) ​ ​ = cyc ∑ ​ 2 bc ​ b + c ​ Mặt khác, ( a 2 + bc ) ( b 2 + ca ) − ab ( a + c ) ( b + c ) = c ( a − b ) 2 ( a + b ) ≥ 0 ⇒ ( a 2 + bc ) ( b 2 + ca ) ab ( a + c ) ( b + c ) ​ ​ ≤ 1 ⇒ cyc ∑ ​ ( a 2 + bc ) ( b 2 + ca ) ab ( a + c ) ( b + c ) ​ ​ ≤ 3 ⇒≤ cyc ∑ ​ 2 bc ​ b + c ​ + 6 − cyc ∑ ​ bc ​ b + c ​ − 3 = cyc ∑ ​ ( 1 − 2 bc ​ b + c ​ ) = − cyc ∑ ​ 2 bc ​ ( b ​ − c ​ ) 2 ​ ≤ 0 → (2) đúng⇒ (đpcm). Dấu bằng xảy ra⇔ a = b = c >0