Cho các số dương a, b, c chứng minh: 2 a 2 − ab + 2 b 2 a 3 ​ + 2 b 2 − bc + 2 c 2 b 3 ​ + 2 c 2 − ca + 2 a 2 c 3 ​ ≥ ≥ 3 a + b + c ​

Giải thích

Sử dụng bất đẳng thức CBS: ( cyc ∑ ​ 2 a 2 − ab + 2 b 2 a 3 ​ ) ( cyc ∑ ​ a ( 2 a 2 − ab + 2 b 2 ) ( c + a ) 2 ) ≥ ≥ ( cyc ∑ ​ a 3 + cyc ∑ ​ ab 2 ) 2 Cuối cùng chứng minh: 3 ( cyc ∑ ​ a 3 + cyc ∑ ​ ab 2 ) ≥ ( cyc ∑ ​ a ) ( cyc ∑ ​ a ( 2 a 2 − ab + 2 b 2 ) ( c + a ) 2 ) Giả sử c = min{a, b, c}. Đặt a = c + x, b = c + y(x, y ≥ 0). Khi đó bất đẳng thức trở thành Ac 4 + Bc 3 + Dc 2 + Ec + F ≥ 0 trong đó A = 18 ( x 2 − xy + y 2 ) ≥ 0 B = 20 x 3 + 33 x 2 y − 21 xy 2 + 20 y 3 = 20 x 3 + 22 x 2 y + xy 2 + 9 y 3 + 11 y ( x − y ) 2 ≥ 0 D = 11 x 4 + 35 x 3 y + 21 x 2 y 2 − 19 xy 3 + 11 y 4 = 11 x 4 + 35 x 2 y 2 + 11 x 2 y 2 + xy 3 + y 4 + 10 y 2 ( x − y ) 2 ≥ 0 E = 5 x 5 + 4 x 4 y + 27 x 3 y 2 − 5 x 2 y 3 − 7 xy 4 + 5 y 5 = 5 x 5 + 4 x 4 y + y 2 ( 27 x 3 − 5 x 2 y − 7 xy 2 + 5 y 3 ) F = x 6 − x 5 y + 5 x 4 y 2 + 2 x 3 y 3 − 3 x 2 y 4 + y 6 F = x 4 ( x 2 − xy + y 2 ) + y 2 ( 2 x 2 − y 2 ) 2 + 2 x 3 y 3 + x 2 y 4 ≥ 0 Đẳng thức xảy ra⇔ a=b=c