Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: 2 a 2 + bc 1 ​ + 2 b 2 + ca 1 ​ + 2 c 2 + ab 1 ​ ≥ ≥ a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca 6 ​

Giải thích

Bổ đề: (bất đẳng thức Schur) x 4 + y 4 + z 4 + xyz ( x + y + z ) ≥ ≥ xy ( x 2 + y 2 ) + yz ( y 2 + z 2 ) + zx ( z 2 + x 2 ) , ∀ x , y , z ≥ 0 Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 0 . Khi đó: VT ( ∗ ) − VP ( ∗ ) = ( x − y ) ( x 2 ( x − z ) − y 2 ( y − z ) ) + z 2 ( x − z ) ( y − z ) ≥ 0 Sử dụng bất đẳng thức CBS: ( cyc ∑ ​ 2 a 2 + bc 1 ​ ) ( cyc ∑ ​ ( b + c ) 2 ( 2 a 2 + bc ) ) ≥ 4 ( a + b + c ) 2 Ta chỉ cần chứng minh: 2 ( a + b + c ) 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca ) ≥ ≥ 3 cyc ∑ ​ ( b + c ) 2 ( 2 a 2 + bc ) ⇔ 2 cyc ∑ ​ a 4 + 3 cyc ∑ ​ ab ( a 2 + b 2 ) + 2 cyc ∑ ​ a 2 bc ≥ 10 cyc ∑ ​ a 2 b 2 Sử dụng bất đẳng thức Schur và bất đẳng thức AM - GM: cyc ∑ ​ a 4 + cyc ∑ ​ a 2 bc ≥ cyc ∑ ​ ab ( a 2 + b 2 ) , cyc ∑ ​ ab ( a 2 + b 2 ) ≥ 2 cyc ∑ ​ a 2 b 2 Từ đây ta có đpcm Đẳng thức xảy ra⇔ a=b=c hoặc a=b, c=0 và các hoán vị