Câu hỏi

Cho các số a, b, c, d > 0. Chứng minh: ( a 1 + b 1 + c 1 + d 1 ) ( a + b 1 + b + c 1 + c + d 1 + d + a 1 ) ≥ ≥ 16 Max { 1 + abcd 1 ; ac + bd 1 } ( 1 )

Cho các số a, b, c, d > 0. Chứng minh:

$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}) (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + d} + \frac{1}{d + a}) \geq \geq 16 Max {\frac{1}{1 + abcd}; \frac{1}{ac + bd}} (1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: VT ( 1 ) = ( ab 1 + cd 1 ) + [ ab ( c + d ) a + b + cd ( a + b ) c + d ] + + ab ( d + a ) a + b + ab ( b + c ) a + b + cd ( b + c ) c + d + cd ( d + a ) c + d ≥ ≥ abcd 4 + ab ( d + a ) a + b + ab ( b + c ) a + b + cd ( b + c ) c + d + cd ( d + a ) c + d Tương tự ta có: VT ( 1 ) ≥ abcd 4 + bc ( a + b ) b + c + bc ( c + d ) b + c + ad ( a + b ) a + d + ad ( c + d ) a + d Suy ra: 2. VT ( 1 ) ≥ abcd 8 + [ ab ( d + a ) a + b + ad ( a + b ) a + d ] + + [ ab ( b + c ) a + b + bc ( a + b ) b + c ] + [ cd ( b + c ) c + d + bc ( c + d ) b + c ] + + [ cd ( d + a ) c + d + ad ( c + d ) a + d ] ≥ abcd 8 + a bd 2 + b ac 2 + c bd 2 + d ac 2 = abcd 8 + a bd 2 ( a 1 + c 1 ) + ac 2 ( b 1 + d 1 ) ≥ abcd 8 + abcd 4 + abcd 4 = abcd 16 ⇒ VT ( 1 ) ≥ abcd 8 Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM - GM: 2 1 + abcd ≥ abcd ; 2 ac + bd ≥ abcd ⇒ abcd ≤ 2 Min { 1 + abcd ; ac + bd } ⇒ VT ( 1 ) ≥ Min { 1 + abcd ; ac + bd } 16 = 16 Max { 1 + abcd 1 ; ac + bd 1 } ( đ pcm ) Đẳng thức xảy ra a = b = c = d >0

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM:

$VT (1) = (\frac{1}{ab} + \frac{1}{cd}) + [\frac{a + b}{ab ( c + d )} + \frac{c + d}{cd ( a + b )}] + + \frac{a + b}{ab ( d + a )} + \frac{a + b}{ab ( b + c )} + \frac{c + d}{cd ( b + c )} + \frac{c + d}{cd ( d + a )} \geq \geq \frac{4}{abcd} + \frac{a + b}{ab ( d + a )} + \frac{a + b}{ab ( b + c )} + \frac{c + d}{cd ( b + c )} + \frac{c + d}{cd ( d + a )}$

Tương tự ta có:

$VT (1) \geq \frac{4}{abcd} + \frac{b + c}{bc ( a + b )} + \frac{b + c}{bc ( c + d )} + \frac{a + d}{ad ( a + b )} + \frac{a + d}{ad ( c + d )}$

Suy ra:

$2. VT (1) \geq \frac{8}{abcd} + [\frac{a + b}{ab ( d + a )} + \frac{a + d}{ad ( a + b )}] + + [\frac{a + b}{ab ( b + c )} + \frac{b + c}{bc ( a + b )}] + [\frac{c + d}{cd ( b + c )} + \frac{b + c}{bc ( c + d )}] + + [\frac{c + d}{cd ( d + a )} + \frac{a + d}{ad ( c + d )}] \geq \frac{8}{abcd} + \frac{2}{a bd} + \frac{2}{b ac} + \frac{2}{c bd} + \frac{2}{d ac} = \frac{8}{abcd} + \frac{2}{a bd} (\frac{1}{a} + \frac{1}{c}) + \frac{2}{ac} (\frac{1}{b} + \frac{1}{d}) \geq \frac{8}{abcd} + \frac{4}{abcd} + \frac{4}{abcd} = \frac{16}{abcd} \Rightarrow VT (1) \geq \frac{8}{abcd}$

Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM - GM:

$\frac{1 + abcd}{2} \geq abcd; \frac{ac + bd}{2} \geq abcd \Rightarrow abcd \leq \frac{Min { 1 + abcd ; ac + bd }}{2} \Rightarrow VT (1) \geq \frac{16}{Min { 1 + abcd ; ac + bd }} = 16 Max {\frac{1}{1 + abcd}; \frac{1}{ac + bd}} (đ pcm)$

Đẳng thức xảy ra a = b = c = d >0

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c > 0 a 2 + b 2 + c 2 = 6 . Chứng minh: S = bc a + ca 2 b + ab 5 c ≥ 2 6

Xác nhận câu trả lời

Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh: a 2 + bc a ( b + c ) + b 2 + ca b ( c + a ) + c 2 + ab c ( a + b ) ≤ ≤ ( a + b + c ) ( a 1 + b 1 + c 1 ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 3 abc . Chứng minh a 3 1 + b 3 1 + c 3 1 ≥ 3 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c ≥ 0 Min { a + b ; b + c ; c + a } > 0 . Chứng minh: 3 b + c a + 3 c + a b + 3 a + b c ≥ 2

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 abc = 1 . Chứng minh a 3 + b 3 + c 3 ≥ 2 ( b + c a + c + a b + a + b c ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Cho các số a, b, c, d &gt; 0. Chứng minh: ( a 1 ​ + b 1 ​ + c 1 ​ + d 1 ​ ) ( a + b 1 ​ + b + c 1 ​ + c + d 1 ​ + d + a 1 ​ ) ≥ ≥ 16 Max { 1 + abcd 1 ​ ; ac + bd 1 ​ } ( 1 )

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho các số a, b, c, d > 0. Chứng minh: ( a 1 + b 1 + c 1 + d 1 ) ( a + b 1 + b + c 1 + c + d 1 + d + a 1 ) ≥ ≥ 16 Max { 1 + abcd 1 ; ac + bd 1 } ( 1 )