Câu hỏi

Cho các số a, b, c > 0 thỏa mãn ab 2 + bc 2 + ca 2 = 3 . Chứng minh rằng: 3 a + 7 + 3 b + 7 + 3 c + 7 ≤ 2 ( a 4 + b 4 + c 4 )

Cho các số a, b, c > 0 thỏa mãn $ab^{2} + bc^{2} + ca^{2} = 3$ . Chứng minh rằng:

$3 a + 7 + 3 b + 7 + 3 c + 7 \leq 2 (a^{4} + b^{4} + c^{4})$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: + ⎩ ⎨ ⎧ 3 a + 7 = 4 1 3 ( a + 7 ) .8.8 ≤ 12 a + 7 + 8 + 8 ≤ ≤ 12 4 a 4 + 1 + 1 + 1 + 23 = 48 a 4 + 95 3 b + 7 = 4 1 3 ( b + 7 ) .8.8 ≤ 12 b + 7 + 8 + 8 ≤ ≤ 12 4 b 4 + 1 + 1 + 1 + 23 = 48 b 4 + 95 3 c + 7 = 4 1 3 ( c + 7 ) .8.8 ≤ 12 c + 7 + 8 + 8 ≤ ≤ 12 4 c 4 + 1 + 1 + 1 + 23 = 48 c 4 + 95 ⇒ 3 a + 7 + 3 b + 7 + 3 c + 7 ≤ 48 a 4 + b 4 + c 4 + 3.95 Mặt khác: 3 ( a 4 + b 4 + c 4 ) + 3 = cyc ∑ ( a 4 + b 4 + c 4 + 1 ) ≥ ≥ 4 ( ab 2 + bc 2 + ca 2 ) = 12 ⇔ 3 ≤ a 4 + b 4 + c 4 ⇒ 3 a + 7 + 3 b + 7 + 3 c + 7 ≤ ≤ 48 a 4 + b 4 + c 4 + 95 ( a 4 + b 4 + c 4 ) = 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM:

$+ ⎩ ⎨ ⎧ 3 a + 7 = \frac{1}{4} 3 (a + 7) .8.8 \leq \frac{a + 7 + 8 + 8}{12} \leq \leq \frac{\frac{a ^{4} + 1 + 1 + 1}{4} + 23}{12} = \frac{a ^{4} + 95}{48} 3 b + 7 = \frac{1}{4} 3 (b + 7) .8.8 \leq \frac{b + 7 + 8 + 8}{12} \leq \leq \frac{\frac{b ^{4} + 1 + 1 + 1}{4} + 23}{12} = \frac{b ^{4} + 95}{48} 3 c + 7 = \frac{1}{4} 3 (c + 7) .8.8 \leq \frac{c + 7 + 8 + 8}{12} \leq \leq \frac{\frac{c ^{4} + 1 + 1 + 1}{4} + 23}{12} = \frac{c ^{4} + 95}{48}$

$\Rightarrow 3 a + 7 + 3 b + 7 + 3 c + 7 \leq \frac{a ^{4} + b ^{4} + c ^{4} + 3.95}{48}$

Mặt khác:

$3 (a^{4} + b^{4} + c^{4}) + 3 = cyc \sum (a^{4} + b^{4} + c^{4} + 1) \geq \geq 4 (ab^{2} + bc^{2} + ca^{2}) = 12 \Leftrightarrow 3 \leq a^{4} + b^{4} + c^{4} \Rightarrow 3 a + 7 + 3 b + 7 + 3 c + 7 \leq \leq \frac{a ^{4} + b ^{4} + c ^{4} + 95 ( a ^{4} + b ^{4} + c ^{4} )}{48} = 2 (a^{4} + b^{4} + c^{4})$

Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh: a + b + c + d 12 ≤ S = a + b 1 + a + c 1 + a + d 1 + b + c 1 + + b + d 1 + c + d 1 ≤ 4 3 ( a 1 + b 1 + c 1 + d 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 1 . Chứng minh: a + bc 1 + b + ca 1 + c + ab 1 ≥ 4 27

Xác nhận câu trả lời

Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh: 4 2 a 4 + 3 b 4 + 4 2 b 4 + 3 c 4 + 4 2 c 4 + 3 a 4 ≥ ≥ 12 5 1 ( 3 2 a 3 + 3 b 3 + 3 2 b 3 + 3 c 3 + 3 2 c 3 + 3 a 3 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 3 . Chứng minh 2 ( ab + bc + ca ) + ab 1 + bc 1 + ca 1 ≥ 9 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b > 0 a + b ≤ 1 . Chứng minh S = a 2 + b 2 1 + ab 1 ≥ 6

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG