Câu hỏi

Cho các số a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức S = a + bc a + b + ca b + c + ab abc

Cho các số a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S = \frac{a}{a + bc} + \frac{b}{b + ca} + \frac{abc}{c + ab}$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

S = a + bc a + b + ca b + c + ab abc = 1 + a bc 1 + 1 + b ca 1 1 + c ab ab / c Đặt a bc = tan 2 2 A ; b ca = tan 2 2 B với 0 < A , B < π Khi đó 1 = a + b + c = c ab . b ca + a bc . c ab + b ca . a bc Suy ra c ab = tan 2 A + tan 2 B 1 − tan 2 A . tan 2 B = cot ( 2 A + B ) = tan 2 C với { A , B , C > 0 A + B + C = π Thay thế a bc = tan 2 2 A ; b ca = tan 2 2 B ; c ab = tan 2 C vào biểu thức S rồi biến đổi: S = 1 + tan 2 2 A 1 + 1 + tan 2 2 B 1 + 1 + tan 2 2 C tan 2 C = cos 2 2 A + cos 2 2 B + 2 sinC = 1 + 2 1 ( cosA + cosB + sinC ) = 1 + 3 1 ( 2 3 cosA + 2 3 cosB ) + + 2 3 1 ( 3 sinAcosB + 3 sinBcosA ) ≤ 1 + 2 3 1 [ ( 4 3 + cos 2 A ) + ( 4 3 + cos 2 B ) ] + + 4 3 1 [ ( 3 sin 2 A + cos 2 B ) + ( 3 sin 2 B + cos 2 A ) ] = 1 + 4 3 + 4 3 ( cos 2 A + sin 2 A ) + + 4 3 ( cos 2 B + sin 2 B ) = 1 + 4 3 3 Dấu bằng xảy ra ⇔ A = B = 6 π , C = 3 2 π ⇔ a bc = b ca = tan 12 π = 2 − 3 , c ab = tan 3 π = 3 ⇔ a = b = 2 3 − 3 , c = 7 − 4 3

$S = \frac{a}{a + bc} + \frac{b}{b + ca} + \frac{abc}{c + ab} = \frac{1}{1 + \frac{bc}{a}} + \frac{1}{1 + \frac{ca}{b}} \frac{ab / c}{1 + \frac{ab}{c}}$

Đặt $\frac{bc}{a} = tan^{2} \frac{A}{2}; \frac{ca}{b} = tan^{2} \frac{B}{2}$ với $0 < A, B < π$

Khi đó

$1 = a + b + c = \frac{ab}{c} . \frac{ca}{b} + \frac{bc}{a} . \frac{ab}{c} + \frac{ca}{b} . \frac{bc}{a}$

Suy ra $\frac{ab}{c} = \frac{1 - tan \frac{A}{2} . tan \frac{B}{2}}{tan \frac{A}{2} + tan \frac{B}{2}} = cot (\frac{A + B}{2}) = tan \frac{C}{2}$ với ${A, B, C > 0 A + B + C = π$

Thay thế $\frac{bc}{a} = tan^{2} \frac{A}{2}; \frac{ca}{b} = tan^{2} \frac{B}{2}; \frac{ab}{c} = tan \frac{C}{2}$ vào biểu thức S rồi biến đổi:

$S = \frac{1}{1 + tan ^{2} \frac{A}{2}} + \frac{1}{1 + tan ^{2} \frac{B}{2}} + \frac{tan \frac{C}{2}}{1 + tan ^{2} \frac{C}{2}} = cos^{2} \frac{A}{2} + cos^{2} \frac{B}{2} + \frac{sinC}{2} = 1 + \frac{1}{2} (cosA + cosB + sinC) = 1 + \frac{1}{3} (\frac{3}{2} cosA + \frac{3}{2} cosB) + + \frac{1}{2 3} (3 sinAcosB + 3 sinBcosA) \leq 1 + \frac{1}{2 3} [(\frac{3}{4} + cos^{2} A) + (\frac{3}{4} + cos^{2} B)] + + \frac{1}{4 3} [(3 sin^{2} A + cos^{2} B) + (3 sin^{2} B + cos^{2} A)] = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} (cos^{2} A + sin^{2} A) + + \frac{3}{4} (cos^{2} B + sin^{2} B) = 1 + \frac{3 3}{4}$

Dấu bằng xảy ra

$\Leftrightarrow A = B = \frac{π}{6}, C = \frac{2 π}{3} \Leftrightarrow \frac{bc}{a} = \frac{ca}{b} = tan \frac{π}{12} = 2 - 3, \frac{ab}{c} = tan \frac{π}{3} = 3 \Leftrightarrow a = b = 23 - 3, c = 7 - 43$

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a + b 1 + b + c 1 + c + a 1 ≥ 3 a 2 + bc 2 a + 3 b 2 + ca 2 b + 3 c 2 + ab 2 c (1)

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn a + b + c + d = 4 ( a 1 + b 1 + c 1 + d 1 ) . Chứng minh: 2 ( a + b + c + d ) ≥ ≥ 3 a 2 + 4 + 3 b 2 + 4 + 3 c 2 + 4 + 3 d 2 + 4 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh: x − 2 x 2 < ln ( 1 + x ) < x ∀ x > 0

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + 2 b + 3 c ≥ 20 . Chứng minh: S = a + b + c + a 3 + 2 b 9 + c 4 ≥ 13

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x). Giả sử f(x) = 0 có n nghiệm thực b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n ≥ 0 và f '(x) = 0 có (n - 1) nghiệm thực a 1 ≥ a 2 ≥ ... ≥ a n − 1 . Gọi ( c 1 , c 2 , ... , c n ) là một hoán...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG