Cho các số a > 0 và các số x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 + 16 9 ​ xy = a 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = xy + yz + zx

Giải thích

Với α ∈ (0; 1). Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: ⎩ ⎨ ⎧ ​ α ( x 2 + y 2 ) ≥ 2 α . xy ( 1 − α ) x 2 + 2 z 2 ​ ≥ 2 ( 1 − α ) x 2 . 2 z 2 ​ ​ ≥ 2 ( 1 − α ) ​ xz ( 1 − α ) y 2 + 2 z 2 ​ ≥ 2 ( 1 − α ) y 2 . 2 z 2 ​ ​ ≥ 2 ( 1 − α ) ​ yz ​ ⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 α . xy + 2 ( 1 − α ) ​ ( xy + yz ) ⇒ a 2 ≥ ( 2 α + 16 9 ​ ) xy + 2 ( 1 − α ) ​ ( xy + yz ) Chọn α ∈ (0; i) sao cho 2 α + 16 9 ​ = 2 ( 1 − α ) ​ ⇔ α = 32 12 5 ​ − 17 ​ . Khi đó ta có: a 2 ≥ 4 3 5 ​ − 2 ​ ( xy + yz + zx ) ⇒ S = xy + yz + zx ≤ 3 5 ​ − 2 4 a 2 ​ = 41 4 ( 3 5 ​ + 2 ) ​ a 2 ⇒ MaxS = 41 4 ( 3 5 ​ + 2 ) ​ a 2 Dấu bằng xảy ra⇔ { 32 49 − 12 5 ​ ​ ​ x = 32 49 − 12 5 ​ ​ ​ y = 2 2 ​ ​ z x 2 + y 2 + z 2 + 16 9 ​ xy = a 2 ​ ⇔ ⎣ ⎡ ​ x = y = 90 − 12 5 ​ ​ 4 a ​ ; z = 90 − 12 5 ​ 49 − 12 5 ​ ​ ​ a x = y = 90 − 12 5 ​ ​ − 4 a ​ ; z = − 90 − 12 5 ​ 49 − 12 5 ​ ​ ​ a ​