Câu hỏi

Cho các số a , b , c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh: a 2 + b 2 a 3 + b 2 + c 2 b 3 + c 2 + a 2 c 3 ≥ 2 3

Cho các số $a, b, c > 0$ và thỏa mãn $a + b + c = 3$ . Chứng minh: $\frac{a ^{3}}{a ^{2} + b ^{2}} + \frac{b ^{3}}{b ^{2} + c ^{2}} + \frac{c ^{3}}{c ^{2} + a ^{2}} \geq \frac{3}{2}$

R. Roboctvx51

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có: a 2 + b 2 a 3 = a − a 2 + b 2 a b 2 ≥ a − 2 b . Tương tự b 2 + c 2 b 3 ≥ b − 2 c , c 2 + a 2 c 3 ≥ c − 2 a Do đó a 2 + b 2 a 3 + b 2 + c 2 b 3 + c 2 + a 2 c 3 ≥ 2 3 ≥ 2 a + b + c = 2 3 . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = 1 .

Ta có: $\frac{a ^{3}}{a ^{2} + b ^{2}} = a - \frac{a b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} \geq a - \frac{b}{2}$ . Tương tự $\frac{b ^{3}}{b ^{2} + c ^{2}} \geq b - \frac{c}{2}, \frac{c ^{3}}{c ^{2} + a ^{2}} \geq c - \frac{a}{2}$

Do đó $\frac{a ^{3}}{a ^{2} + b ^{2}} + \frac{b ^{3}}{b ^{2} + c ^{2}} + \frac{c ^{3}}{c ^{2} + a ^{2}} \geq \frac{3}{2} \geq \frac{a + b + c}{2} = \frac{3}{2}$ . Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ .