Câu hỏi

Cho biết tích phân ∫ 0 1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 2 ) d x = a + b ln 2 + c ln 3 ;với a, b, c là những số nguyên. Giá trị của biểu thức T = a + b + 2c bằng:

Cho biết tích phân $\int_{0}^{1} \frac{( x ^{2} + 2 ) d x}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = a + b ln 2 + c ln 3$ ; với a, b, c là những số nguyên. Giá trị của biểu thức T = a + b + 2c bằng:

R. Robo.Ctvx22

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

T a c o ˊ : I = ∫ 0 1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 2 ) d x = ∫ 0 1 ( 1 − ( x + 1 ) ( x + 2 ) 3 x ) d x = ∫ 0 1 ( 1 − x + 1 A − x + 2 B ) d x Với phép phân tích: ( x + 1 ) ( x + 2 ) 3 x = x + 1 A + x + 2 B = ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( A + B ) x + ( 2 A + B ) { A + B = 3 2 A + B = 0 ⇔ { A = − 3 B = 6 Suy ra I = ∫ 0 1 ( 1 − ( x + 1 ) ( x + 2 ) 3 x ) d x = ∫ 0 1 ( 1 − x + 1 A − x + 2 B ) d x = ∫ 0 1 ( 1 + x + 1 3 − x + 2 6 ) d x I = ∫ 0 1 ( 1 + x + 1 3 − x + 2 6 ) dx = ( x + 3 In ∣ x + 1 ∣ − 6 In ∣ x + 2 ∣ ) ∣ ∣ 0 1 = 1 + 9 In 2 − 6 In 3 = a + In 2 + cIn 3 Suy ra : ⎩ ⎨ ⎧ a = 1 b = 9 c = − 6 ⇒ T = + b + 2 c = − 2

$T a c \overset{o}{ˊ} : I = \int_{0}^{1} \frac{( x ^{2} + 2 ) d x}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \int_{0}^{1} (1 - \frac{3 x}{( x + 1 ) ( x + 2 )}) d x = \int_{0}^{1} (1 - \frac{A}{x + 1} - \frac{B}{x + 2}) d x$

Với phép phân tích: $\frac{3 x}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} = \frac{( A + B ) x + ( 2 A + B )}{( x + 1 ) ( x + 2 )}$ ${A + B = 3 2 A + B = 0 \Leftrightarrow {A = - 3 B = 6$

Suy ra $I = \int_{0}^{1} (1 - \frac{3 x}{( x + 1 ) ( x + 2 )}) d x = \int_{0}^{1} (1 - \frac{A}{x + 1} - \frac{B}{x + 2}) d x$ $= \int_{0}^{1} (1 + \frac{3}{x + 1} - \frac{6}{x + 2}) d x$

$I = \int_{0}^{1} (1 + \frac{3}{x + 1} - \frac{6}{x + 2}) dx = (x + 3 In ∣ x + 1 ∣ - 6 In ∣ x + 2 ∣) ∣ ∣_{0}^{1} = 1 + 9 In 2 - 6 In 3 = a + In 2 + cIn 3 Suy ra : ⎩ ⎨ ⎧ a = 1 b = 9 c = - 6 \Rightarrow T = + b + 2 c = - 2$