Cho ba tia Ox, Oy, Ozđôi một vuông góc với nhau. Trong góc tam diện Oxyz, lấy điểm M cố định. Một mp( α ) di động qua M cắtOx, Oy, Oz tại A, B, C. Gọi khoảng cách từ M tới (OBC), (OAC), (OAB) lần lượt là a, b, c. a. CMR tam giác ABC có các góc trong đều nhọn. b. Tính OA, OB, OC theo a, b, c để thể tích khối tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. c TínhOA, OB, OC theo a, b, c để tổng OA + OB + OC nhỏ nhất

Giải thích

a. Gọi I là hình chiếu vuông góc của O trên AB. Tam giác OAB vuông tại O nên I nằm trên đoạn thẳng AB, khác với A, B ta có: { A B ⊥ O I A B ⊥ OC ( v ı ˋ OC ⊥ ( O A B ) ) ​ ⇒ A B ⊥ ( OC I ) Từ hai tam giác IAC, IBC cùng vuông tại I, ta dễ dàng suy ra hai góc A, B củatam giác ABC đều nhọn. Tương tự góc C cũng nhọn. b. Ta có: V O A BC ​ = V MOBC ​ + V MOC A ​ + V MO A B ​ Hay 6 1 ​ O A . OB . OC = 6 1 ​ OB . OC . a + 6 1 ​ OC . O A . b + 6 1 ​ O A . OB . c suy ra O A a ​ + OB b ​ + OC c ​ = 1 Mặt khác: V O A BC ​ = 6 1 ​ O A . OB . OC = 6 ab c ​ . a O A ​ . b OB ​ . c OC ​ Vì a, b, c không đổi nên V O A BC ​ nhỏ nhất khi và chỉ khi a O A ​ . b OB ​ . c OC ​ nhỏ nhất, tức là O A a ​ . OB b ​ . OC c ​ lớn nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cô si: O A a ​ . OB b ​ . OC c ​ ≤ ( 3 O A a ​ + OB b ​ + OC c ​ ​ ) 3 = 27 1 ​ Vậy max O A a ​ . OB b ​ . OC c ​ = 27 1 ​ khi và chỉ khi: O A a ​ = OB b ​ = OC c ​ = 3 1 ​ ⇔ O A = 3 a , OB = 3 b , OC = 3 c Khi đó min V O A BC ​ = 2 9 ab c ​ c. Ta viết: ( a ​ + b ​ + c ​ ) 2 = ( O A a ​ ​ . O A ​ + OB b ​ ​ . OB ​ + OC c ​ ​ . OC ​ ) 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski: ( a ​ + b ​ + c ​ ) 2 ≤ ( O A a ​ + OB b ​ + OC c ​ ) ( O A + OB + OC ) ⇔ ( a ​ + b ​ + c ​ ) 2 ≤ ( O A + OB + OC ) ( ∗ ) Đẳng thức xảy ra khi: O A ​ O A a ​ ​ ​ = OB ​ OB b ​ ​ ​ = OC ​ OC c ​ ​ ​ tức là: O A a ​ ​ = OB b ​ ​ = OC c ​ ​ = O A + OB + OC a ​ + b ​ + c ​ ​ = a ​ + b ​ + c ​ 1 ​ (Kết quả này được suy từ (*) khi nó trở thành đẳng thức) từ đó: O A = a ​ ( a ​ + b ​ + c ​ ) OB = b ​ ( a ​ + b ​ + c ​ ) OC = c ​ ( a ​ + b ​ + c ​ ) Khi đó min ( O A + OB + OC ) = ( a ​ + b ​ + c ​ ) 2