Cho ba số thực dương a,b,cthỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 − 2 a + 4 b − 6 c = 10 và a + c = 2 . Tính giá trị biểu thức P = 3 a + 2 b + c khi Q = a 2 + b 2 + c 2 − 14 a − 8 b + 18 đạt giá trị lớn nhất

Giải thích

Gọi (S)là mặt cầu tâm I(1;-2;3), bán kính R = 24 ​ . Khi đó: ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z = 10 Gọi (P)là mặt phẳng có phương trình x + z = 2 và điểm K(7;4;-9). Với M(a;b;c). Theo giả thiết ta có: M ∈ ( S ) và M ∈ ( P ) ⇒ M ∈ ( S ) ∩ ( P ) . Hơn nữa: Q = a 2 + b 2 + c 2 − 14 a − 8 b + 18 = ( a − 7 ) 2 + ( b − 4 ) 2 + ( c + 9 ) 2 − 146 = K M 2 − 146 Bài toán trở thành: Tìm Mnằm trên đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S)và mặt phẳng (P)sao cho KMlớn nhất. (P)có VTPT n = ( 1 ; 0 ; 1 ) . Gọi △ là đường thẳng qua Kvà vuông góc (P) ⇒ △ : ⎩ ⎨ ⎧ ​ x = 7 + t y = 4 z = − 9 + t ​ . Gọi Hlà hình chiếu của Klên mặt phẳng (P). Ta có: K M 2 = K H 2 + H M 2 , mà KHkhông đổi nên KMlớn nhất khi HMlớn nhất. Gọi dlà đường thẳng qua Ivà vuông góc ⇒ d : ⎩ ⎨ ⎧ ​ x = 1 + t y = − 2 z = 3 + t ​ . Gọi Jlà tâm đường tròn giao tuyến của (S)và (P) ⇒ Jlà hình chiếu của Ilên (P) ⇒ J = d ∩ ( P ) ⇒ J ( 0 ; − 2 ; 2 ) . Phương trình đường thẳng HJ: ⎩ ⎨ ⎧ ​ x = 3 t y = − 2 + 2 t z = 2 − 3 t ​ Gọi A,Blà các giao điểm của HJvà (S). Ta có: H A = 4 22 ​ > H B = 2 22 ​ . Vậy M a x H M = 4 22 ​ ⇒ M ≡ A ( − 3 ; − 4 ; 5 ) . Khi đó: P = 3 a + 2 b − c = − 12 .