Câu hỏi

Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 3 . Tìm giá trị lớn nhất của: P = a 2 + 1 a + 1 + a a 2 + 1 + b 2 + 1 b + 1 + b b 2 + 1 + c 2 + 1 c + 1 + c c 2 + 1

Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn $a + b + c \leq 3$ . Tìm giá trị lớn nhất của:

$P = \frac{a + 1 + a a ^{2} + 1}{a ^{2} + 1} + \frac{b + 1 + b b ^{2} + 1}{b ^{2} + 1} + \frac{c + 1 + c c ^{2} + 1}{c ^{2} + 1}$

T. Nhã

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Biểu thức P viết lại: P = T a 2 + 1 a + 1 + b 2 + 1 b + 1 + c 2 + 1 c + 1 + a + b + c X e ˊ t h a ˋ m s o ^ ˊ f ( x ) = x 2 + 1 x + 1 . T ậ p x a ˊ c đ ị nh D = R f ′ ( x ) = x 2 + 1 ( x + 1 ) ′ x 2 + 1 − ( x 2 + 1 ) ′ ( x + 1 ) = ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 1 − x f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên thấy: f ( x ) ≤ 2 , ∀ x ∈ R S u y r a : a 2 + 1 a + 1 ≤ 2 ( 1 ) ; b 2 + 1 b + 1 ≤ 2 ( 2 ) ; c 2 + 1 c + 1 ≤ 2 ( 3 ) C ộ n g ( 1 ) , ( 2 ) v a ˋ ( 3 ) t h eo v e ^ ˊ , t a đư ợ c : T ≤ 3 2 ( 4 ) T h eo g i ả t hi e ^ ˊ t : a + b + c ≤ 3 C ộ n g ( 4 ) v a ˋ ( 5 ) t h eo v e ^ ˊ ⇒ P ≤ 3 2 + 3 Đ ẳ n g t h ứ c x ả y r a ⇔ a = b = c = 1 V ậ y ma x P ≤ 3 2 + 3

Biểu thức P viết lại:

$P = T \frac{a + 1}{a ^{2} + 1} + \frac{b + 1}{b ^{2} + 1} + \frac{c + 1}{c ^{2} + 1} + a + b + c X \overset{e}{ˊ} t h \overset{a}{ˋ} m s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} f (x) = \frac{x + 1}{x ^{2} + 1} . T ậ p x \overset{a}{ˊ} c đ ị nh D = R f^{'} (x) = \frac{( x + 1 ) ^{'} x ^{2} + 1 - ( x ^{2} + 1 ) ^{'} ( x + 1 )}{x ^{2} + 1} = \frac{1 - x}{( x ^{2} + 1 ) x ^{2} + 1} f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên thấy:

$f (x) \leq 2, \forall x \in R S u y r a : \frac{a + 1}{a ^{2} + 1} \leq 2 (1); \frac{b + 1}{b ^{2} + 1} \leq 2 (2); \frac{c + 1}{c ^{2} + 1} \leq 2 (3) C ộ n g (1), (2) v \overset{a}{ˋ} (3) t h eo v \overset{ˊ}{\overset{e}{^}}, t a đư ợ c : T \leq 32 (4) T h eo g i ả t hi \overset{ˊ}{\overset{e}{^}} t : a + b + c \leq 3 C ộ n g (4) v \overset{a}{ˋ} (5) t h eo v \overset{ˊ}{\overset{e}{^}} \Rightarrow P \leq 32 + 3 Đ ẳ n g t h ứ c x ả y r a \Leftrightarrow a = b = c = 1 V ậ y ma x P \leq 32 + 3$

Câu hỏi tương tự

Cho ba điểm A ( 3 , 1 , 0 ) ; B ( 2 , 1 , − 1 ) ; C ( x , y , − 1 ) . Tìm tọa độ của C để tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A

Xác nhận câu trả lời

Tìm hệ số của x 7 trong khai triển thành đa thức ( 1 − 2 x ) 2 n , trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn C 2 n + 1 1 + C 2 n + 1 3 + C 2 n + 1 5 + ... + C 2 n + 1 2 n + 1 = 4096

Xác nhận câu trả lời

Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x 2 + 2 x + 2 + x 2 − 2 x + 2

Xác nhận câu trả lời

Tìm số tự nhiên n sao cho 1. C n 1 + 2. C n 2 + ... + n . C n n = n . 2 2009

Xác nhận câu trả lời

Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực: x − 3 − 2 x − 4 + x + 5 − 6 x − 4 = 2010 m .

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG