Câu hỏi

Cho ba số cương a, b, c thỏa điều kiện abc=1. Hãy tìm GTNN của biểu thức: P = a 2 b + a 2 c cb + b 2 a + b 2 c ac + c 2 a + c 2 b ab

Cho ba số cương a, b, c thỏa điều kiện abc=1. Hãy tìm GTNN của biểu thức: $P = \frac{cb}{a ^{2} b + a ^{2} c} + \frac{ac}{b ^{2} a + b ^{2} c} + \frac{ab}{c ^{2} a + c ^{2} b}$

R. Robo.Ctvx34

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có a 2 b + a 2 c b c = a 2 ( b + c ) b c = a 2 ( b 1 + c 1 ) 1 = b 1 + c 1 a 2 1 Đặt x = a 1 , y = b 1 , z = c 1 giả thiết a, b, c>0, abc=1nên x,y,z>0và xyz=1 Vậy P = y + z x 2 + z + x y 2 + x + y z 2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có : ( y + z + z + x + x + y ) P ≥ ( y + z ⋅ y + z x + z + x z + x y + x + y ⋅ x + y z ) 2 ⇔ 2 ( x + y + z ) P ≥ ( x + y + z ) 2 ⇔ P ≥ 2 1 ( x + y + z ) ≥ 2 1 3 3 x yz = 2 3 ⇔ P ≥ 2 3 Nếu P = 2 3 thì x = y = z = 1 ⇒ a = b = c = − 1 Đảo lại, nếu a=b=cthì P = 2 3 vậy min P = 2 3

Ta có $\frac{b c}{a ^{2} b + a ^{2} c} = \frac{b c}{a ^{2} ( b + c )} = \frac{1}{a ^{2} ( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} )} = \frac{\frac{1}{a ^{2}}}{\frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$

Đặt $x = \frac{1}{a}, y = \frac{1}{b}, z = \frac{1}{c}$ giả thiết a, b, c>0, abc=1 nên x,y,z>0 và xyz=1
Vậy $P = \frac{x ^{2}}{y + z} + \frac{y ^{2}}{z + x} + \frac{z ^{2}}{x + y}$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có :
$(y + z + z + x + x + y) P \geq (y + z \cdot \frac{x}{y + z} + z + x \frac{y}{z + x} + x + y \cdot \frac{z}{x + y})^{2}$

$\Leftrightarrow 2 (x + y + z) P \geq (x + y + z)^{2}$
$\Leftrightarrow P \geq \frac{1}{2} (x + y + z) \geq \frac{1}{2} 3 3 x yz = \frac{3}{2} \Leftrightarrow P \geq \frac{3}{2}$