Cho ΔABC vuông tại C (AC < BC), gọi I là trung điểm của AB. Kẻ IE ⊥ BC tại E, kẻ IF ⊥ BC tại F. a. Chứng minh tứ giác CEIF là hình chữ nhật. b. Gọi H là điểm đối xứng của I qua F. Chứng minh rằng tứ giác CHFE là hình bình hành. CI cắt BF tại G, O là trung điểm của FI. Chứng minh ba điểm A, O, G thẳng hàng.

Giải thích

a. Vì ΔABC vuông tại C nên ∠C = 90 o Ta lại có: IE ⊥ BC tại E và IF ⊥ AC tại F. ⇒ ∠E = 90 o , ∠F = 90 o Xét tứ giác IFCE ta có: ∠C = ∠E = ∠F = 90 o ⇒ Tứ giác IFCE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết). b. Vì tứ giác IFCE là hình chữ nhật nên IF = CE và IF // CE. Vì H là điểm đối xứng của I qua F nên IF = HF và H, F, I thẳng hàng. ⇒ CE = HF và CE // HF ⇒ Tứ giác CHFE là hình bình hàng (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) c. *) Chứng minh A, G, E thẳng hàng Giả sử BF ∩ CI = {G} Xét tam giác ABC ta có: IA = IB IF // BC ⇒ F là trung điểm AC. Tương tự, E là trung điểm của BC ⇒ BF là đường trung tuyến của ΔABC; AE là là đường trung tuyến của ΔABC Mà CI là là đường trung tuyến của ΔABC và BF ∩ CI = {G} ⇒ G là trọng tâm của ΔABC ⇒ A, G, E thẳng hàng (1) *) Chứng minh A, O, E thẳng hàng Ta có: Mà O là trung điểm của IF nên O là trung điểm của AE. ⇒ A, O, E thẳng hàng (2) Từ (1) và (2) suy ra A, O, G thẳng hàng.