Cho ABC là một tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp O và bán kính đường tròn ngoại tiếp R. Giả sử AO lại cắt đường tròn (BOC) tại một điểm A’,BO lại cắt đường tròn (COA) tại điểm B’ và CO lại cắt đường tròn (AOB) tại C’. Chứng minh rằng: O A ′ . OB ′ . O C ′ ≥ 8 R 3 . Khi nào đẳng thức xảy ra.

Giải thích

Gọi R , R 1 ​ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của △ ABC , △ BA ′ C , thế thì: 2 R 1 ​ = sin BOC BC ​ = sin 2 A 2 R sin A ​ ⇒ R 1 ​ = 2 cos A R ​ Ta có: và Tương tự cho OB’ và OC’, ta được: O A ′ . O B ′ . O C ′ = cos A cos B cos C cos ( B − C ) cos ( C − A ) cos ( A − B ) ​ Vì thế bất đẳng thức phải chứng minh trở thành cos ( A − B ) cos ( B − C ) cos ( C − A ) ≥ 8 cos A cos B cos C ⇔ cos ( A − B ) cos ( B − C ) cos ( C − A ) ≥ − 8 cos ( A + B ) cos ( B + C ) cos ( C + A ) ⇔ ( 1 + tan B tan C ) ( 1 + tan CtanA ) ( 1 + tan AtanB ) ≥ − 8 ( 1 − tan B tan C ) ( 1 + tan B tan A ) ( 1 + tan C tan A ) Đặt: x = tan A , y = tan B , z = tan C . Bất đẳng thức phải chứng minh: ( x y + 1 ) ( yz + 1 ) ( z x + 1 ) ≥ 8 ( x y − 1 ) ( yz − 1 ) ( z x − 1 ) ⇔ ( 2 x + y + z ) ( 2 y + z + x ) ( 2 z + x + y ) ≥ 8 ( y + z ) ( z + x ) ( x + y ) Mà 2 x + y + z = ( x + y ) + ( x + z ) ≥ 2 ( x + y ) ( x + z ) ​ , tương tự cho hai biểu thức còn lại ở vế trái ⇒ đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z, nghĩa là nếu và chỉ nếu △ ABC là đều