Câu hỏi

Cho △ ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c; độ dài 3 đường phân giác trong tương ứng với các cạnh a, b, c là l a , l b , l c . Chứng minh: al a + bl b + cl c ≤ al b + bl c + cl a

Cho $△$ ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c; độ dài 3 đường phân giác trong tương ứng với các cạnh a, b, c là l_a, l_b, l_c. Chứng minh:

$al_{a} + bl_{b} + cl_{c} \leq al_{b} + bl_{c} + cl_{a}$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Bổ đề: a ≤ b ⇔ l a ≥ l b Chứng minh: S ABC = S = S ABD + S ACD ⇔ S = 2 1 cl a sin 2 A + 2 1 bl a sin 2 A = 2 1 l a sin 2 A ( b + c ) ⇔ l a = ( b + c ) sin 2 A 2 S Tương tự ta có: l b = ( c + a ) sin 2 B 2 S l a ≥ l b ⇔ ( b + c ) sin 2 A ≤ ( c + a ) sin 2 B ⇔ ( sinB + sinC ) sin 2 A ≤ ( sinC + sinA ) sin 2 B ⇔ sinC ( sin 2 B − sin 2 A ) + + 2 sin 2 A sin 2 B ( cos 2 A − cos 2 B ) ≥ 0 ( 1 ) Giả sử a ≥ b th ı ˋ A ≥ B ⇔ 2 A ≥ 2 B ⇔ sin 2 A ≥ sin 2 B v a ˋ cos 2 A ≥ cos 2 B ⇒ (1) không thỏa mãn ⇒ N e ^ ˊ u l a ≥ l b th ı ˋ a ≤ b Mặt khác a ≤ b ⇔ A ≤ B ⇔ 2 A ≤ 2 B ⇔ sin 2 A ≤ sin 2 B v a ˋ cos 2 A ≤ cos 2 B ⇒ sinC ( sin 2 B − sin 2 A ) + 2 sin 2 A sin 2 B ( cos 2 B − cos 2 A ) ≥ 0 ⇒ N e ^ ˊ u a ≤ b th ı ˋ l a ≥ l b . V ậ y a ≤ b ⇔ l a ≥ l b Không mất tính tổng quát giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ l a ≥ l b ≥ l c Sử dụng bất đẳng thức hoán vị: al a + bl b + cl c ≤ al b + bl c + cl a Đẳng thức xảy ra⇔ △ ABC đều

Bổ đề: $a \leq b \Leftrightarrow l_{a} \geq l_{b}$

Chứng minh:

$S_{ABC} = S = S_{ABD} + S_{ACD} \Leftrightarrow S = \frac{1}{2} cl_{a} sin \frac{A}{2} + \frac{1}{2} bl_{a} sin \frac{A}{2} = \frac{1}{2} l_{a} sin \frac{A}{2} (b + c) \Leftrightarrow l_{a} = \frac{2 S}{( b + c ) sin \frac{A}{2}}$

Tương tự ta có: $l_{b} = \frac{2 S}{( c + a ) sin \frac{B}{2}}$

$l_{a} \geq l_{b} \Leftrightarrow (b + c) sin \frac{A}{2} \leq (c + a) sin \frac{B}{2} \Leftrightarrow (sinB + sinC) sin \frac{A}{2} \leq (sinC + sinA) sin \frac{B}{2} \Leftrightarrow sinC (sin \frac{B}{2} - sin \frac{A}{2}) + + 2 sin \frac{A}{2} sin \frac{B}{2} (cos \frac{A}{2} - cos \frac{B}{2}) \geq 0 (1)$

Giả sử

$a \geq b th \overset{ı}{ˋ} A \geq B \Leftrightarrow \frac{A}{2} \geq \frac{B}{2} \Leftrightarrow sin \frac{A}{2} \geq sin \frac{B}{2} v \overset{a}{ˋ} cos \frac{A}{2} \geq cos \frac{B}{2}$

⇒ (1) không thỏa mãn $\Rightarrow N \overset{ˊ}{\overset{e}{^}} u l_{a} \geq l_{b} th \overset{ı}{ˋ} a \leq b$

Mặt khác

$a \leq b \Leftrightarrow A \leq B \Leftrightarrow \frac{A}{2} \leq \frac{B}{2} \Leftrightarrow sin \frac{A}{2} \leq sin \frac{B}{2} v \overset{a}{ˋ} cos \frac{A}{2} \leq cos \frac{B}{2} \Rightarrow sinC (sin \frac{B}{2} - sin \frac{A}{2}) + 2 sin \frac{A}{2} sin \frac{B}{2} (cos \frac{B}{2} - cos \frac{A}{2}) \geq 0 \Rightarrow N \overset{ˊ}{\overset{e}{^}} u a \leq b th \overset{ı}{ˋ} l_{a} \geq l_{b} . V ậ y a \leq b \Leftrightarrow l_{a} \geq l_{b}$

Không mất tính tổng quát giả sử $a \leq b \leq c \Rightarrow l_{a} \geq l_{b} \geq l_{c}$

Sử dụng bất đẳng thức hoán vị: $al_{a} + bl_{b} + cl_{c} \leq al_{b} + bl_{c} + cl_{a}$

Đẳng thức xảy ra ⇔ $△$ ABC đều

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c > 0; abc = 1. Chứng minh: a 4 + b 4 + c 4 + 3 ≥ 2 ( c ab + a bc + b ca ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c ∈ R . Chứng minh: ( 1 + a 7 ) ( 1 + b 7 ) ( 1 + c 7 ) ≥ ≥ ( 1 + a 4 b 2 c ) ( 1 + b 4 c 2 a ) ( 1 + ac 4 a 2 b ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a a + b 1 + b b + bc 1 + c c + a 1 ≥ 2 abc 3

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng nếu a, b, c ≥ 0, thì: S = b 2 + 4 1 bc + c 2 a + c 2 + 4 1 ca + ca 2 b + + a 2 + 4 1 ab + b 2 a ≥ 2

Xác nhận câu trả lời

Cho a 1 , a 2 ,...a n > 0 và hai số α , β >0. Chứng minh: a 1 β + a 2 β + ... + a n β a 1 α + β + a 2 α + β + ... + a n α + β ≥ n a 1 α + a 2 α + ... + a n α

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG