Câu hỏi

Cho a 1 , a 2 ,...a n > 0 và hai số α , β >0. Chứng minh: a 1 β + a 2 β + ... + a n β a 1 α + β + a 2 α + β + ... + a n α + β ≥ n a 1 α + a 2 α + ... + a n α

Cho a₁, a₂,...a_n > 0 và hai số $α, β$ >0. Chứng minh:

$\frac{a _{1}^{α + β} + a _{2}^{α + β} + ... + a _{n}^{α + β}}{a _{1}^{β} + a _{2}^{β} + ... + a _{n}^{β}} \geq \frac{a _{1}^{α} + a _{2}^{α} + ... + a _{n}^{α}}{n}$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Giả sử 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n − 1 ≤ a n ⇒ { 0 < a 1 α ≤ a 2 α ≤ ... ≤ a n α 0 < a 1 β ≤ a 2 β ≤ ... ≤ a n β Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev: n [ a 1 α . a 1 β + a 2 α . a 2 β + ... + a n α . a n β ] ≥ ≥ [ a 1 α + a 2 α + ... + a n α ] [ a 1 β + a 2 β + ... + a n β ] ⇔ a 1 β + a 2 β + ... + a n β a 1 α + β + a 2 α + β + ... + a n α + β ≥ n a 1 α + a 2 α + ... + a n α

Giả sử $0 < a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{n - 1} \leq a_{n} \Rightarrow {0 < a_{1}^{α} \leq a_{2}^{α} \leq ... \leq a_{n}^{α} 0 < a_{1}^{β} \leq a_{2}^{β} \leq ... \leq a_{n}^{β}$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev:

$n [a_{1}^{α} . a_{1}^{β} + a_{2}^{α} . a_{2}^{β} + ... + a_{n}^{α} . a_{n}^{β}] \geq \geq [a_{1}^{α} + a_{2}^{α} + ... + a_{n}^{α}] [a_{1}^{β} + a_{2}^{β} + ... + a_{n}^{β}] \Leftrightarrow \frac{a _{1}^{α + β} + a _{2}^{α + β} + ... + a _{n}^{α + β}}{a _{1}^{β} + a _{2}^{β} + ... + a _{n}^{β}} \geq \frac{a _{1}^{α} + a _{2}^{α} + ... + a _{n}^{α}}{n}$