Câu hỏi

Cho a 1 , a 2 ,...,a n > 0. Chứng minh S = n a 1 + a 2 + ... + a n ≥ n a 1 a 2 ... a n = P

Cho a₁, a₂,...,a_n > 0. Chứng minh $S = \frac{a _{1} + a _{2} + ... + a _{n}}{n} \geq n a_{1} a_{2} ... a_{n} = P$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Nếu Min{a 1 , a 2 ,...,a n } = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng NếuMin{a 1 , a 2 ,...,a n } > 0 thì P = n a 1 a 2 ... a n > 0. Không mất tính tổng quát giả sử ta có thứ tự các biến số là a 1 ≥ a 2 ≥ ... ≥ a n > 0 . Khi đó ta có 2 dãy số sắp xếp thứ tự ngược chiều nhau { P a 1 ≥ P 2 a 1 a 2 ≥ ... ≥ P n a 1 a 2 ... a n = 1 a 1 P ≤ a 1 a 2 P 2 ≤ ... ≤ a 1 a 2 ... a n P n = 1 Suy ra n = P a 1 . a 1 P + P 2 a 1 a 2 . a 1 a 2 P 2 + ... + P n a 1 a 2 ... a n . a 1 a 2 ... a n P n ≤ ≤ P a 1 .1 + P 2 a 1 a 2 . a 1 P + ... + P n a 1 a 2 ... a n . a 1 a 2 ... a n − 1 P n − 1 = P a 1 + a 2 + ... + a n = n a 1 a 2 ... a n a 1 + a 2 + ... + a n ⇔ n a 1 + a 2 + ... + a n ≥ n a 1 a 2 ... a n Dấu bằng xảy ra⇔ a 1 =a 2 =...=a n

Nếu Min{a₁, a₂,...,a_n } = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng

Nếu Min{a₁, a₂,...,a_n } > 0 thì $P = n a_{1} a_{2} ... a_{n}$ > 0. Không mất tính tổng quát giả sử ta có thứ tự các biến số là $a_{1} \geq a_{2} \geq ... \geq a_{n} > 0$ . Khi đó ta có 2 dãy số sắp xếp thứ tự ngược chiều nhau

${\frac{a _{1}}{P} \geq \frac{a _{1} a _{2}}{P ^{2}} \geq ... \geq \frac{a _{1} a _{2} ... a _{n}}{P ^{n}} = 1 \frac{P}{a _{1}} \leq \frac{P ^{2}}{a _{1} a _{2}} \leq ... \leq \frac{P ^{n}}{a _{1} a _{2} ... a _{n}} = 1$

Suy ra

$n = \frac{a _{1}}{P} . \frac{P}{a _{1}} + \frac{a _{1} a _{2}}{P ^{2}} . \frac{P ^{2}}{a _{1} a _{2}} + ... + \frac{a _{1} a _{2} ... a _{n}}{P ^{n}} . \frac{P ^{n}}{a _{1} a _{2} ... a _{n}} \leq \leq \frac{a _{1}}{P} .1 + \frac{a _{1} a _{2}}{P ^{2}} . \frac{P}{a _{1}} + ... + \frac{a _{1} a _{2} ... a _{n}}{P ^{n}} . \frac{P ^{n - 1}}{a _{1} a _{2} ... a _{n - 1}} = \frac{a _{1} + a _{2} + ... + a _{n}}{P} = \frac{a _{1} + a _{2} + ... + a _{n}}{n a _{1} a _{2} ... a _{n}} \Leftrightarrow \frac{a _{1} + a _{2} + ... + a _{n}}{n} \geq n a_{1} a_{2} ... a_{n}$