Câu hỏi

Cho a 1 , a 2 ,...,a n > 0. Chứng minh: a 1 + a 2 + ... + a n ≤ a 2 2002 a 1 2003 + a 3 2002 a 2 2003 + ... + a n 2002 a n − 1 2003 + a 1 2002 a n 2003

Cho a₁, a₂,...,a_n > 0. Chứng minh:

$a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \leq \frac{a _{1}^{2003}}{a _{2}^{2002}} + \frac{a _{2}^{2003}}{a _{3}^{2002}} + ... + \frac{a _{n - 1}^{2003}}{a _{n}^{2002}} + \frac{a _{n}^{2003}}{a _{1}^{2002}}$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Giả sử 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n − 1 ≤ a n . Khi đó { a 1 2003 ≤ a 2 2003 ≤ ... ≤ a n 2003 a 1 2002 1 ≥ a 2 2002 1 ≥ ... ≥ a n 2002 1 Sử dụng bất đẳng thức hoán vị: a 1 2003 . a 1 2002 1 + a 2 2003 . a 2 2002 1 + ... + a n 2003 . a n 2002 1 ≤ ≤ a 1 2003 . a 2 2002 1 + a 2 2003 . a 3 2002 1 + ... + a n 2003 . a 1 2002 1 ⇔ a 1 + a 2 + ... + a n ≤ a 2 2002 a 1 2003 + a 3 2002 a 2 2003 + ... + a n 2002 a n − 1 2003 + a 1 2002 a n 2003

Giả sử $0 < a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{n - 1} \leq a_{n}$ . Khi đó ${a_{1}^{2003} \leq a_{2}^{2003} \leq ... \leq a_{n}^{2003} \frac{1}{a _{1}^{2002}} \geq \frac{1}{a _{2}^{2002}} \geq ... \geq \frac{1}{a _{n}^{2002}}$

Sử dụng bất đẳng thức hoán vị:

$a_{1}^{2003} . \frac{1}{a _{1}^{2002}} + a_{2}^{2003} . \frac{1}{a _{2}^{2002}} + ... + a_{n}^{2003} . \frac{1}{a _{n}^{2002}} \leq \leq a_{1}^{2003} . \frac{1}{a _{2}^{2002}} + a_{2}^{2003} . \frac{1}{a _{3}^{2002}} + ... + a_{n}^{2003} . \frac{1}{a _{1}^{2002}} \Leftrightarrow a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \leq \frac{a _{1}^{2003}}{a _{2}^{2002}} + \frac{a _{2}^{2003}}{a _{3}^{2002}} + ... + \frac{a _{n - 1}^{2003}}{a _{n}^{2002}} + \frac{a _{n}^{2003}}{a _{1}^{2002}}$

Câu hỏi tương tự

Chứng minh rằng: a 2 + bc a ( b + c ) + b 2 + ca b ( c + a ) + c 2 + ab c ( a + b ) ≥ 2 , ∀ a , b , c > 0

Xác nhận câu trả lời

Cho a 1 , a 2 ,...a n > 0. Chứng minh: S = a 1 1 + a 1 + a 2 2 + ... + a 1 + a 2 + ... + a n n < < 4 ( a 1 1 + a 2 1 + ... + a n 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c ≥ 0 a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất cảu biểu thức S = 4 ab + 8 bc + 6 ca

Xác nhận câu trả lời

Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: b + c − a a + c + a − b b + a + b − c c ≥ a + b + c

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn ab + bc + ca + 6abc = 9. Tìm hằng số k tốt nhất sao cho: a + b + c + kabc ≥ k + 3 (1) đúng ∀ a , b , c ≥ 0

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Cho a 1 , a 2 ,...,a n &gt; 0. Chứng minh: a 1 ​ + a 2 ​ + ... + a n ​ ≤ a 2 2002 ​ a 1 2003 ​ ​ + a 3 2002 ​ a 2 2003 ​ ​ + ... + a n 2002 ​ a n − 1 2003 ​ ​ + a 1 2002 ​ a n 2003 ​ ​

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho a 1 , a 2 ,...,a n > 0. Chứng minh: a 1 + a 2 + ... + a n ≤ a 2 2002 a 1 2003 + a 3 2002 a 2 2003 + ... + a n 2002 a n − 1 2003 + a 1 2002 a n 2003