Cho đa giác đều 2nđỉnh nội tiếp đường tròn (O). Chia 2nđỉnh này thành ncặp điểm, mỗi cặp điểm này thành một đoạn thẳng (hai đoạn thẳng bất kì trong số nđoạn thẳng được tạo ra không có đầu mút chung). Khi n = 4, hãy chỉ ra một cách chia sao cho trong bốn đoạn thẳng được tạo ra không có hai đoạn nào có độ dài bằng nhau. Khi n = 10, chứng minh rằng trong mười đoạn thẳng được tạo ra luôn tồn tại hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Giải thích

1. Ta cần chỉ ra cách chia cặp 8số từ 1đến 8sao cho không có hai cặp nào có chênh lệch giống nhau theo mod 4. Cụ thể là, (1; 4), (2; 6), (3; 5)và (7; 8)với các chênh lệch là 3, 4, 2, 1, thỏa mãn đề bài. 2. Gỉa sử tồn tại cách ghép cặp ( a 1 ​ , b 1 ​ ) , ( a 2 ​ , b 2 ​ ) , ..., ( a 10 ​ , b 10 ​ ) cho các số từ 1đến 20sao cho không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho 10. Suy ra ∣ a 1 ​ − b 1 ​ ∣ + ∣ a 2 ​ − b 2 ​ ∣ + ... + ∣ a 10 ​ − b 10 ​ ∣ ≡ 0 + 1 + ... + 9 ( mod + 3 m u + 3 m u 10 ) ∣ a 1 ​ − b 1 ​ ∣ + ∣ a 2 ​ − b 2 ​ ∣ + ... + ∣ a 10 ​ − b 10 ​ ∣ ≡ 5 ( mod + 3 m u + 3 m u 10 ) Do đó tổng ∣ a 1 ​ − b 1 ​ ∣ + ∣ a 2 ​ − b 2 ​ ∣ + ... + ∣ a 10 ​ − b 10 ​ ∣ là số lẻ. Chú ý rằng với mọi x, ynguyên thì ∣ x − y ∣ có cùng tính chẵn lẻ với x + y. Kết hợp với kết quả trên, ta suy ra tổng ( a 1 ​ , b 1 ​ ) + ( a 2 ​ , b 2 ​ ) + ... + ( a 10 ​ , b 10 ​ ) , cũng lẻ. Mặt khác, ta lại có ( a 1 ​ , b 1 ​ ) + ( a 2 ​ , b 2 ​ ) + ... + ( a 10 ​ , b 10 ​ ) = 1 + 2 + ... + 20 = 210 là số chẵn. Mâu thuẫn nhận được cho ta kết quả cần chứng minh.