Câu hỏi

Cho đa giác n cạnh có độ dài tương ứng là a 1 , a 2 ,...a n ≥ 1 và chu vi P thỏa mãn 1 + a 1 2 1 + 1 + a 2 2 1 + ... + 1 + a n 2 1 = 1 . Chứng minh: a 1 1 + a 2 1 + ... + a n 1 ≤ n − 1 P ( 1 )

Cho đa giác n cạnh có độ dài tương ứng là a₁, a₂,...a_n $\geq$ 1 và chu vi P thỏa mãn $\frac{1}{1 + a _{1}^{2}} + \frac{1}{1 + a _{2}^{2}} + ... + \frac{1}{1 + a _{n}^{2}} = 1$ . Chứng minh:

$\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + ... + \frac{1}{a _{n}} \leq \frac{P}{n - 1} (1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

( 1 ) ⇔ P = i = 1 ∑ n a i ≥ ( n − 1 ) i = 1 ∑ n a i 1 ⇔ ( a 1 + a 2 + ... + a n ) + ( a 1 1 + a 2 1 + ... + a n 1 ) ≥ ≥ n ( a 1 1 + a 2 1 + ... + a n 1 ) ⇔ a 1 1 + a 1 2 + a 2 1 + a 2 2 + ... + a n 1 + a n 2 ≥ ≥ n ( a 1 1 + a 2 1 + ... + a n 1 ) Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: ( a 1 1 + a 1 2 + a 2 1 + a 2 2 + ... + a n 1 + a n 2 ) . . ( 1 + a 1 2 a 1 + 1 + a 2 2 a 2 + ... + 1 + a n 2 a n ) ≥ n 2 ( 2 ) Không mất tính tổng quát, giả sử a 1 ≥ a 2 ≥ ... ≥ a n > 0 ⇒ a 1 1 ≤ a 2 1 ≤ ... ≤ a n 1 Ta có: 1 + a k 2 a k − 1 + a 2 k + 1 a k + 1 = ( 1 + a k 2 ) ( 1 + a 2 k + 1 ) ( a k − a k + 1 ) ( 1 − a k a k + 1 ) ≤ 0 , suy ra 1 + a 1 2 a 1 ≤ 1 + a 2 2 a 2 ≤ ... ≤ 1 + a n 2 a n Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều: ( 1 + a 1 2 a 1 + 1 + a 2 2 a 2 + ... + 1 + a n 2 a n ) ( a 1 1 + a 2 1 + ... + a n 1 ) ≤ ≤ n ( 1 + a 1 2 a 1 . a 1 1 + 1 + a 2 2 a 2 . a 2 1 + ... + 1 + a n 2 a n . a n 1 ) = n ( 1 + a 1 2 1 + 1 + a 2 2 1 + ... + 1 + a n 2 1 ) = n ⇒ 1 + a 1 2 a 1 + 1 + a 2 2 a 2 + ... + 1 + a n 2 a n ≤ a 1 1 + a 2 1 + ... + a n 1 n ( 3 ) Từ (2) và (3) suy ra ( a 1 1 + a 1 2 + a 2 1 + a 2 2 + ... + a n 1 + a n 2 ) ≥ ≥ 1 + a 1 2 a 1 + 1 + a 2 2 a 2 + ... + 1 + a n 2 a n n 2 ≥ a 1 1 + a 2 1 + ... + a n 1 n n 2 = n ( a 1 1 + a 2 1 + ... + a n 1 ) ⇒ a 1 1 + a 2 1 + ... + a n 1 ≤ n − 1 P

$(1) \Leftrightarrow P = i = 1 \sum n a_{i} \geq (n - 1) i = 1 \sum n \frac{1}{a _{i}} \Leftrightarrow (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) + (\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + ... + \frac{1}{a _{n}}) \geq \geq n (\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + ... + \frac{1}{a _{n}}) \Leftrightarrow \frac{1 + a _{1}^{2}}{a _{1}} + \frac{1 + a _{2}^{2}}{a _{2}} + ... + \frac{1 + a _{n}^{2}}{a _{n}} \geq \geq n (\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + ... + \frac{1}{a _{n}})$

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM:

$(\frac{1 + a _{1}^{2}}{a _{1}} + \frac{1 + a _{2}^{2}}{a _{2}} + ... + \frac{1 + a _{n}^{2}}{a _{n}}) . . (\frac{a _{1}}{1 + a _{1}^{2}} + \frac{a _{2}}{1 + a _{2}^{2}} + ... + \frac{a _{n}}{1 + a _{n}^{2}}) \geq n^{2} (2)$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a_{1} \geq a_{2} \geq ... \geq a_{n} > 0 \Rightarrow \frac{1}{a _{1}} \leq \frac{1}{a _{2}} \leq ... \leq \frac{1}{a _{n}}$

Ta có: $\frac{a _{k}}{1 + a _{k}^{2}} - \frac{a _{k + 1}}{1 + a ^{2} _{k + 1}} = \frac{( a _{k} - a _{k + 1} ) ( 1 - a _{k} a _{k + 1} )}{( 1 + a _{k}^{2} ) ( 1 + a ^{2} _{k + 1} )} \leq 0$ , suy ra $\frac{a _{1}}{1 + a _{1}^{2}} \leq \frac{a _{2}}{1 + a _{2}^{2}} \leq ... \leq \frac{a _{n}}{1 + a _{n}^{2}}$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều:

$(\frac{a _{1}}{1 + a _{1}^{2}} + \frac{a _{2}}{1 + a _{2}^{2}} + ... + \frac{a _{n}}{1 + a _{n}^{2}}) (\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + ... + \frac{1}{a _{n}}) \leq \leq n (\frac{a _{1}}{1 + a _{1}^{2}} . \frac{1}{a _{1}} + \frac{a _{2}}{1 + a _{2}^{2}} . \frac{1}{a _{2}} + ... + \frac{a _{n}}{1 + a _{n}^{2}} . \frac{1}{a _{n}}) = n (\frac{1}{1 + a _{1}^{2}} + \frac{1}{1 + a _{2}^{2}} + ... + \frac{1}{1 + a _{n}^{2}}) = n \Rightarrow \frac{a _{1}}{1 + a _{1}^{2}} + \frac{a _{2}}{1 + a _{2}^{2}} + ... + \frac{a _{n}}{1 + a _{n}^{2}} \leq \frac{n}{\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + ... + \frac{1}{a _{n}}} (3)$

Từ (2) và (3) suy ra

$(\frac{1 + a _{1}^{2}}{a _{1}} + \frac{1 + a _{2}^{2}}{a _{2}} + ... + \frac{1 + a _{n}^{2}}{a _{n}}) \geq \geq \frac{n ^{2}}{\frac{a _{1}}{1 + a _{1}^{2}} + \frac{a _{2}}{1 + a _{2}^{2}} + ... + \frac{a _{n}}{1 + a _{n}^{2}}} \geq \frac{n ^{2}}{\frac{n}{\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + ... + \frac{1}{a _{n}}}} = n (\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + ... + \frac{1}{a _{n}}) \Rightarrow \frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + ... + \frac{1}{a _{n}} \leq \frac{P}{n - 1}$

Câu hỏi tương tự

Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh: 4 2 a 4 + 3 b 4 + 4 2 b 4 + 3 c 4 + 4 2 c 4 + 3 a 4 ≥ ≥ 12 5 1 ( 3 2 a 3 + 3 b 3 + 3 2 b 3 + 3 c 3 + 3 2 c 3 + 3 a 3 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh: S = 1 − ( 2 a + b ) 2 + 1 − ( 2 b + c ) 2 + 1 − ( 2 c + a ) 2 ≥ 6 (1)

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) = 1 . Chứng minh: ( 3 a + b + c ) 5 ≥ 3 a 2 + b 2 + c 2

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c ≥ 0 a + b + c = 3 . Chứng minh: c 2 + a + b 1 + a 2 + b + c 1 + b 2 + a + c 1 ≤ 1 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: c ab + a bc + b ca ≥ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Cho đa giác n cạnh có độ dài tương ứng là a 1 , a 2 ,...a n ≥ 1 và chu vi P thỏa mãn 1 + a 1 2 ​ 1 ​ + 1 + a 2 2 ​ 1 ​ + ... + 1 + a n 2 ​ 1 ​ = 1 . Chứng minh: a 1 ​ 1 ​ + a 2 ​ 1 ​ + ... + a n ​ 1 ​ ≤ n − 1 P ​ ( 1 )

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho đa giác n cạnh có độ dài tương ứng là a 1 , a 2 ,...a n ≥ 1 và chu vi P thỏa mãn 1 + a 1 2 1 + 1 + a 2 2 1 + ... + 1 + a n 2 1 = 1 . Chứng minh: a 1 1 + a 2 1 + ... + a n 1 ≤ n − 1 P ( 1 )