Câu hỏi

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh 2 ( a 2 + 1 ) ( b 2 + 1 ) ( c 2 + 1 ) ≥ ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) ( abc + 1 )

Cho a, b, c $\geq$ 0. Chứng minh $2 (a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (c^{2} + 1) \geq (a + 1) (b + 1) (c + 1) (abc + 1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đặt a = 1 + x 1 − x ; b = 1 + y 1 − y ; c = 1 + z 1 − z v ớ i x , y , z ∈ ( − 1 ; 1 ] khi đó: a + 1 a 2 + 1 = x + 1 x 2 + 1 ; b + 1 b 2 + 1 = y + 1 y 2 + 1 ; c + 1 c 2 + 1 = z + 1 z 2 + 1 ; abc + 1 = ( x + 1 ) ( y + 1 ) ( z + 1 ) 2 ( xy + yz + zx + 1 ) Bất đẳng thức trở thành ( x 2 + 1 ) ( y 2 + 1 ) ( z 2 + 1 ) ≥ xy + yz + zx + 1 ⇔ x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 + x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx Theo AM - GM: x 2 + y 2 + z 2 = 2 x 2 + y 2 + 2 y 2 + z 2 + 2 z 2 + x 2 ≥ ≥ ∣ xy ∣ + ∣ yz ∣ + ∣ zx ∣ ≥ xy + yz + zx v a ˋ x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ 0 Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên⇒ (đpcm) Đẳng thức xảy ra⇔ a = b = c = 1

Đặt $a = \frac{1 - x}{1 + x}; b = \frac{1 - y}{1 + y}; c = \frac{1 - z}{1 + z} v ớ i x, y, z \in (- 1; 1]$ khi đó:

$\frac{a ^{2} + 1}{a + 1} = \frac{x ^{2} + 1}{x + 1}; \frac{b ^{2} + 1}{b + 1} = \frac{y ^{2} + 1}{y + 1}; \frac{c ^{2} + 1}{c + 1} = \frac{z ^{2} + 1}{z + 1}; abc + 1 = \frac{2 ( xy + yz + zx + 1 )}{( x + 1 ) ( y + 1 ) ( z + 1 )}$

Bất đẳng thức trở thành $(x^{2} + 1) (y^{2} + 1) (z^{2} + 1) \geq xy + yz + zx + 1 \Leftrightarrow x^{2} y^{2} + y^{2} z^{2} + z^{2} x^{2} + x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq xy + yz + zx$

Theo AM - GM:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} + \frac{y ^{2} + z ^{2}}{2} + \frac{z ^{2} + x ^{2}}{2} \geq \geq ∣ xy ∣ + ∣ yz ∣ + ∣ zx ∣ \geq xy + yz + zx v \overset{a}{ˋ} x^{2} y^{2} + y^{2} z^{2} + z^{2} x^{2} \geq 0$

Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ⇒ (đpcm)

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng: a 2 + bc b 3 + 2 abc + c 3 + b 2 + ca c 3 + 2 abc + a 3 + c 2 + ab a 3 + 2 abc + b 3 ≥ ≥ 2 ( a + b + c ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh: a + b + c + d 12 ≤ S = a + b 1 + a + c 1 + a + d 1 + b + c 1 + + b + d 1 + c + d 1 ≤ 4 3 ( a 1 + b 1 + c 1 + d 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh: a 2 + bc a ( b + c ) + b 2 + ca b ( c + a ) + c 2 + ab c ( a + b ) ≤ ≤ ( a + b + c ) ( a 1 + b 1 + c 1 ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c ≤ 1 . Chứng minh a 2 + 2 bc 1 + b 2 + 2 ca 1 + c 2 + 2 ab 1 ≥ 9

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 1 . Chứng minh: a + bc 1 + b + ca 1 + c + ab 1 ≥ 4 27

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG