Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ab + bc + ca ≤ a 2 + bc a 3 ( b + c ) ​ + b 2 + ca b 3 ( c + a ) ​ + c 2 + ab c 3 ( a + b ) ​ ≤ ≤ a 2 + b 2 + c 2

Giải thích

Ta có: cyc ∑ ​ a 2 + bc 2 a 3 ( b + c ) ​ − cyc ∑ ​ a ( b + c ) = cyc ∑ ​ a 2 + bc a ( b + c ) ( a 2 − bc ) ​ = cyc ∑ ​ [ a 2 + bc a ( b + c ) ( a 2 − bc ) ​ − ( a 2 − bc ) ] + cyc ∑ ​ ( a 2 − bc ) = cyc ∑ ​ a 2 + bc ( bc − a 2 ) ( a − b ) ( a − c ) ​ + cyc ∑ ​ ( a − b ) ( a − c ) = 2 abc cyc ∑ ​ a 3 + abc ( a − b ) ( a − c ) ​ V a ˋ cyc ∑ ​ a 2 − cyc ∑ ​ a 2 + bc a 3 ( b + c ) ​ = cyc ∑ ​ a 2 + bc a 2 ( a − b ) ( a − c ) ​ Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c , khi đ o ˊ c 3 + abc 1 ​ ≥ b 3 + abc 1 ​ Theo định lí 2, ta có: cyc ∑ ​ a 2 + bc a 2 ( a − b ) ( a − c ) ​ ≥ 0 ⇔ cyc ∑ ​ a 2 + bc a 3 ( b + c ) ​ ≥ cyc ∑ ​ a ( b + c ) ⇔ a 2 + bc a 3 ( b + c ) ​ + b 2 + ca b 3 ( c + a ) ​ + c 2 + ab c 3 ( a + b ) ​ ≥ ab + bc + ca Mặt khác, do a ≥ b ≥ c n e ^ n a 2 + bc a 2 ​ ≥ b 2 + ca b 2 ​ . Theo đinh lí 2, ta có: cyc ∑ ​ a 2 + bc a 2 ( a − b ) ( a − c ) ​ ≥ 0 ⇔ cyc ∑ ​ a 2 ≥ cyc ∑ ​ a 2 + bc a 3 ( b + c ) ​ ⇔ a 2 + bc a 3 ( b + c ) ​ + b 2 + ca b 3 ( c + a ) ​ + c 2 + ab c 3 ( a + b ) ​ ≤ a 2 + b 2 + c 2 Đẳng thức xảy ra⇔ a=b=c > 0 hoặc a=b > 0, c=0 và các hoán vị