Câu hỏi

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a + 3 b + 2 c ab + b + 3 c + 2 a bc + c + 3 a + 2 b ca ≤ 6 a + b + c

Cho a, b, c $\geq$ 0. Chứng minh: $\frac{ab}{a + 3 b + 2 c} + \frac{bc}{b + 3 c + 2 a} + \frac{ca}{c + 3 a + 2 b} \leq \frac{a + b + c}{6}$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức cộng mẫu số với n = 3 ta có: + ⎩ ⎨ ⎧ a + 3 b + 2 c ab = ab ( a + c ) + ( b + c ) + 2 b 1 ≤ ≤ ab 9 1 ( a + c 1 + b + c 1 + 2 b 1 ) b + 3 c + 2 a bc = ab ( b + a ) + ( c + a ) + 2 c 1 ≤ ≤ bc 9 1 ( b + a 1 + c + a 1 + 2 c 1 ) c + 3 a + 2 b ca = ca ( c + b ) + ( a + b ) + 2 a 1 ≤ ≤ ca 9 1 ( c + b 1 + a + b 1 + 2 a 1 ) ⇒ a + 3 b + 2 c ab + b + 3 c + 2 a bc + c + 3 a + 2 b ca ≤ ≤ 9 1 ( a a + b + c + a + c ab + bc + b + c ab + ca + b + b bc + ca ) ⇔ a + 3 b + 2 c ab + b + 3 c + 2 a bc + c + 3 a + 2 b ca ≤ ≤ 9 1 ( 2 a + b + c + a + b + c ) = 6 a + b + c Đẳng thức xảy ra⇔ a = b = c > 0

Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức cộng mẫu số với n = 3 ta có:

$+ ⎩ ⎨ ⎧ \frac{ab}{a + 3 b + 2 c} = ab \frac{1}{( a + c ) + ( b + c ) + 2 b} \leq \leq ab \frac{1}{9} (\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{2 b}) \frac{bc}{b + 3 c + 2 a} = ab \frac{1}{( b + a ) + ( c + a ) + 2 c} \leq \leq bc \frac{1}{9} (\frac{1}{b + a} + \frac{1}{c + a} + \frac{1}{2 c}) \frac{ca}{c + 3 a + 2 b} = ca \frac{1}{( c + b ) + ( a + b ) + 2 a} \leq \leq ca \frac{1}{9} (\frac{1}{c + b} + \frac{1}{a + b} + \frac{1}{2 a}) \Rightarrow \frac{ab}{a + 3 b + 2 c} + \frac{bc}{b + 3 c + 2 a} + \frac{ca}{c + 3 a + 2 b} \leq \leq \frac{1}{9} (\frac{a + b + c}{a} + \frac{ab + bc}{a + c} + \frac{ab + ca}{b + c} + \frac{bc + ca}{b + b}) \Leftrightarrow \frac{ab}{a + 3 b + 2 c} + \frac{bc}{b + 3 c + 2 a} + \frac{ca}{c + 3 a + 2 b} \leq \leq \frac{1}{9} (\frac{a + b + c}{2} + a + b + c) = \frac{a + b + c}{6}$