Câu hỏi

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) a 3 + b 3 + c 3 + 9 a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca ≥ 5 ( 1 )

Cho a, b, c $\geq$ 0. Chứng minh: $\frac{a ^{3} + b ^{3} + c ^{3}}{( a + b ) ( b + c ) ( c + a )} + 9 \frac{ab + bc + ca}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} \geq 5 (1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ca và r = abc. Không mất tính tổng quát chuẩn hóa p = 1 Khi đó (1) trở thành q − r 1 − 3 p + 3 r + 9 1 − 2 q q ≥ 5 ⇔ q − r 1 + 1 − 2 q 9 q ≥ 8 ( 2 ) VT ( 2 ) ≥ q 1 + 1 − 2 q 9 q = 2 + q 1 − 2 q + 1 − 2 q 9 q ≥ ≥ 2 + 2 q 1 − 2 q . 1 − 2 q 9 q = 2 + 2 9 = 8 Đẳng thức xảy ra ⇔ ( a , b , c ) = ( 2 3 + 5 x , x , 0 ) v a ˋ ( a , b , c ) = ( 2 3 − 5 x , x , 0 ) và các hoán vị

Đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ca và r = abc. Không mất tính tổng quát chuẩn hóa p = 1

Khi đó (1) trở thành $\frac{1 - 3 p + 3 r}{q - r} + 9 \frac{q}{1 - 2 q} \geq 5 \Leftrightarrow \frac{1}{q - r} + \frac{9 q}{1 - 2 q} \geq 8 (2)$

$VT (2) \geq \frac{1}{q} + \frac{9 q}{1 - 2 q} = 2 + \frac{1 - 2 q}{q} + \frac{9 q}{1 - 2 q} \geq \geq 2 + 2 \frac{1 - 2 q}{q} . \frac{9 q}{1 - 2 q} = 2 + 29 = 8$

Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow (a, b, c) = (\frac{3 + 5}{2} x, x, 0) v \overset{a}{ˋ} (a, b, c) = (\frac{3 - 5}{2} x, x, 0)$ và các hoán vị

Câu hỏi tương tự

Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh: 4 2 a 4 + 3 b 4 + 4 2 b 4 + 3 c 4 + 4 2 c 4 + 3 a 4 ≥ ≥ 12 5 1 ( 3 2 a 3 + 3 b 3 + 3 2 b 3 + 3 c 3 + 3 2 c 3 + 3 a 3 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh: S = 1 − ( 2 a + b ) 2 + 1 − ( 2 b + c ) 2 + 1 − ( 2 c + a ) 2 ≥ 6 (1)

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) = 1 . Chứng minh: ( 3 a + b + c ) 5 ≥ 3 a 2 + b 2 + c 2

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c ≥ 0 a + b + c = 3 . Chứng minh: c 2 + a + b 1 + a 2 + b + c 1 + b 2 + a + c 1 ≤ 1 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: c ab + a bc + b ca ≥ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) a 3 + b 3 + c 3 ​ + 9 a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca ​ ≥ 5 ( 1 )

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) a 3 + b 3 + c 3 + 9 a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca ≥ 5 ( 1 )