Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: b 2 + 3 c 2 ​ a ​ + c 2 + 3 a 2 ​ b ​ + a 2 + 3 b 2 ​ c ​ ≥ 2 3 ​ ( 1 )

Giải thích

Sử dụngbất đẳng thức Holder: ( cyc ∑ ​ b 2 + 3 c 2 ​ a ​ ) 2 ( cyc ∑ ​ a ( b 2 + 3 c 2 ) ( 2 a + b ) 3 ) ≥ ≥ ( 2 cyc ∑ ​ a 2 + cyc ∑ ​ ab ) 3 Bất đẳng thức (1) được chứng minh nếu ta chứng minh được: 4 ( 2 cyc ∑ ​ a 2 + cyc ∑ ​ ab ) 3 ≥ 9 cyc ∑ ​ a ( b 2 + 3 c 2 ) ( 2 a + b ) 3 ( 2 ) Không mất tính tổng quát, giả sử c = min{a, b, c}. Đặt a = c + x, b = c + y(x, y ≥ 0) Khi đó, (2) tương đương Ac 4 + Bc 3 + Dc 2 + Ec + F ≥ 0 , trong đó: A = 810 ( x 2 − xy + y 2 ) ≥ 0 B = 27 ( 53 x 3 + 17 x 2 y − 56 xy 2 + 53 y 3 ) = 27 [ 53 x 3 + x 2 y + 4 y 3 + y ( 4 x − 7 y ) 2 ] ≥ 0 D = 9 ( 101 x 4 + 146 x 3 y − 111 x 2 y 2 − 73 xy 3 + 101 y 4 ) = 4 909 ( 2 x 2 + xy − 2 y 2 ) + 9 xy ( 180 x 2 + 263 xy + 112 y 2 ) ​ ≥ 0 E = 9 ( 31 x 5 + 48 x 4 y + 33 x 3 y 2 − 88 x 2 y 3 − xy 4 + 31 y 5 ) = 9 [ 31 x 5 + + 3 y ( 4 x 2 + xy − 3 y 2 ) 2 + xy 2 ( 3 x − 4 y ) 2 + + y 3 ( 5 x 2 + xy + 4 y 2 ) ] ≥ 0 F = 32 x 6 + 48 x 5 y + 48 x 4 y 2 − 8 x 3 y 3 − 150 x 2 y 4 + + 39 xy 5 + 32 y 6 = 2 ( 4 x 3 + 3 x 2 y − 4 y 3 ) 2 + + xy 2 ( 30 x 3 + 56 x 2 y − 102 xy 2 + 39 y 3 ) = 2 ( 4 x 3 + 3 x 2 y − 4 y 3 ) 2 + x + y xy 2 ​ [ ( 5 x 2 + 6 xy − 6 y 2 ) 2 + + 5 x 4 + 26 x 3 y − 22 x 2 y 2 + 9 xy 3 + 3 y 4 ] ≥ 0 Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: 5 x 4 + 26 x 3 y − 22 x 2 y 2 + 9 xy 3 + 3 y 4 ≥ 26 x 3 y − 16 x 2 y 2 + 9 xy 3 = xy ( 26 x 2 − 16 xy + 9 y 2 ) ≥ 0 Như vậy (2) đúng suy ra (1) đúng. Dấu bằng xảy ra⇔ a=b=c ≥ 0