Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: b + c a ​ ​ + c + a b ​ ​ + a + b c ​ ​ ≥ 2 1 + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) abc ​ ​ (1)

Giải thích

( 1 ) ⇔ cyc ∑ ​ a ( a + b ) ( a + c ) ​ ≥ 2 ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ​ ⇔ cyc ∑ ​ a ( a + b ) ( a + c ) + 2 cyc ∑ ​ ( b + c ) bc ( a + b ) ( a + c ) ​ ≥ ≥ 4 cyc ∑ ​ bc ( b + c ) + 12 abc Theo AM - GM: ( a + b ) ( a + c ) = a 2 + a ( b + c ) + bc ≥ a 2 + 2 a bc ​ + bc = ( a + bc ​ ) 2 ⇒ cyc ∑ ​ ( b + c ) bc ( a + b ) ( a + c ) ​ ≥ cyc ∑ ​ ( b + c ) bc ​ ( a + bc ​ ) = cyc ∑ ​ bc ( b + c ) + abc ​ cyc ∑ ​ ( b + c ) a ​ Sử dụng AM - GM: abc ​ cyc ∑ ​ ( b + c ) a ​ ≥ 6 abc . Do đó chỉcần chứng minh cyc ∑ ​ a ( a + b ) ( a + c ) + 2 cyc ∑ ​ bc ( b + c ) + 12 abc ≥ ≥ 4 cyc ∑ ​ bc ( b + c ) + 12 abc ⇔ cyc ∑ ​ a 3 + 3 abc ≥ cyc ∑ ​ bc ( b + c ) Không mất đi tính tổng quát giả sử a ≥ b ≥ c , khi đó biến đổi đẳng thức ⇔ a ( a − b ) 2 + c ( c − b ) 2 + ( c + a − b ) ( a − b ) ( b − c ) ≥ 0 (đúng) Đẳng thức xảy ra⇔ a=b=c hoặc a=b, c=0 và các hoán vị