Cho a, b, c, m, n >0 thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị của biểu thức S = ma 2 + nb 2 + c 2 theo tham số m, n.

Giải thích

Xét các tham số x, y, z > 0 sao cho m - x, n - y, 1 - z >0 Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: + ⎩ ⎨ ⎧ ​ xa 2 + yb 2 ≥ 2 xy ​ ab ( m − x ) a 2 + zc 2 ≥ 2 ( m − x ) z ​ ac ( n − y ) b 2 + ( 1 − z ) c 2 ≥ 2 ( n − y ) ( 1 − z ) ​ bc ​ ⇒ S = ma 2 + nb 2 + c 2 ≥ 2 xy ​ ab + 2 ( m − x ) z ​ ac + + 2 ( n − y ) ( 1 − z ) ​ bc Dấu bằng xảy ra ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ​ xa 2 = yb 2 ( m − x ) a 2 = zc 2 ( n − y ) b 2 = ( 1 − z ) c 2 ​ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ​ b 2 = y x ​ a 2 c 2 = z m − x ​ a 2 ( n − y ) xz = ( 1 − z ) ( m − x ) y ​ Chọn x, y, z sao cho xy ​ = ( m − x ) z ​ = ( n − y ) ( 1 − z ) ​ = k > 0 ⇒ ( n − y ) xz = ( 1 − z ) ( m − x ) y = k 3 Ta có: mn = [ x + ( m − x ) ] [ y + ( n − y ) ] [ z + ( 1 − z ) ] = k 2 ( m + n + 1 ) + 2 k 3 Đặt f ( k ) = 2 k 3 + k 2 ( m + n + 1 ) − mn ⇒ f ′ ( k ) = 6 k 2 + 2 ( m + n + 1 ) k > 0 , ∀ k > 0 → f(k) tăng trên ( 0 ; + ∞ ) ⇒ Phương trình f(k) = 0 có nghiệm duy nhất k 0 > 0 ⇒ S = ma 2 + nb 2 + c 2 ≥ 2 k ( ab + bc + ca ) = 2 k 0 ​ ⇒ Min S = 2 k 0 ​