Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a) a 2 + b 2 + c 2 < 2 (ab + bc + ca) b) abc (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b )

Xét các số thực a, b, c không âm, khác 1 và thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b c 1 ​ + b + a c 1 ​ + ( a + b ) ( 4 + 5 c )

Cho tập hợp A gồm 31 phần tử và dãy gồm m tập con của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau i) Mỗi tập thuộc dãy có ít nhất hai phần tử ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung nhau ít nhất hai phần tử...

Cho a, y, z ≥ 0 thỏa mãn 3 ≤ x + y + z ≤ 6 . Chứng minh: 1 + x ​ + 1 + y ​ + 1 + z ​ ≥ xy + yz + zx + 15 ​ ( 1 )

Cho các số a, b, c > 0. Chứng minh: ( 1 + b 3 + c 3 ) ( 1 + c 3 + a 3 ) ( 1 + a 3 + b 3 ) ≥ ≥ ( 1 + a 2 b + b 2 c ) ( 1 + b 2 c + c 2 a ) ( 1 + c 2 a + a 2 b ) ( 1 )

Cho các số a, b, c, d > 0. Chứng minh S = a 2 + b 2 a 3 ​ + b 2 + c 2 b 3 ​ + c 2 + d 2 a 3 ​ + d 2 + a 2 a 3 ​ ≥ 2 a + b + c + d ​