Câu hỏi

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: display style a b plus b c plus c a minus 2 a b c less or equal than 7 over 27

R. Robo.Ctvx30

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

T a c o ˊ ab + b c + c a − 2 ab c = a ( b + c ) + ( 1 − 2 a ) b c = a ( 1 − a ) + ( 1 − 2 a ) b c Đ ặ t t = b c th ı ˋ tac o ˊ 0 ≤ t = b c ≤ 4 ( b + c ) 2 = 4 ( 1 − a ) 2 Vậy ab + b c + c a − 2 ab c ≤ 27 7 . Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3 1

$T a c \overset{o}{ˊ} ab + b c + c a - 2 ab c = a (b + c) + (1 - 2 a) b c = a (1 - a) + (1 - 2 a) b c Đ ặ t t = b c th \overset{ı}{ˋ} ta c \overset{o}{ˊ} 0 \leq t = b c \leq \frac{( b + c ) ^{2}}{4} = \frac{( 1 - a ) ^{2}}{4}$

$table attributes columnalign left columnspacing 1em end attributes row cell Xét space hàm space số space straight f left parenthesis straight t right parenthesis equals straight a left parenthesis 1 minus straight a right parenthesis plus left parenthesis 1 minus 2 straight a right parenthesis straight t text end text end cell row cell trên đoạn space open square brackets 0 semicolon fraction numerator left parenthesis 1 minus straight a right parenthesis squared over denominator 4 end fraction close square brackets end cell row cell straight f apostrophe open parentheses straight t close parentheses equals 1 minus 2 straight a less than 0 straight for all straight a element of left square bracket 0 semicolon 1 right square bracket space space end cell end table$

$table attributes columnalign left columnspacing 1em end attributes row cell Ta space có space straight f left parenthesis 0 right parenthesis equals straight a left parenthesis 1 minus straight a right parenthesis less or equal than fraction numerator left parenthesis straight a plus 1 minus straight a right parenthesis squared over denominator 4 end fraction equals 1 fourth less than 7 over 27 space space end cell row cell V à space f open parentheses fraction numerator left parenthesis 1 minus straight a right parenthesis squared over denominator 4 end fraction close parentheses equals 7 over 27 minus 1 fourth open parentheses 2 straight a plus 1 third close parentheses open parentheses straight a minus 1 third close parentheses squared less or equal than 7 over 27 end cell end table$
Vậy $ab + b c + c a - 2 ab c \leq \frac{7}{27}$ . Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c = \frac{1}{3}$