Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng:

Chp a, b, c, y, x, z thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 x 2 + y 2 + z 2 ​ = a 2 x 2 ​ + b 2 y 2 ​ + c 2 z 2 ​ Chứng minh rằng x 2012 + y 2012 + z 2012 = 0

Cho a, b, c > 0 và a ( 1 + 2 a ​ ​ ) + b ( 1 + 2 b ​ ​ ) + c ( 1 + 2 c ​ ​ ) ≥ 12 . Chứng minh: S = a 2 16 ​ + 4 5 b 2 ​ + 2 c ​ + 8 19 a 3 ​ ​ + b 2 16 ​ + 4 5 c 2 ​ + 2 a ​ + 8 19 b 3 ​ ​ + c ...

Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau thuộc [0; 2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = ( a − b ) 2 1 ​ + ( b − c ) 2 1 ​ + ( c − a ) 2 1 ​

Cho a, b, c, m, n >0 thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị của biểu thức S = ma 2 + nb 2 + c 2 theo tham số m, n.

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh: 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 12 ≥ 3 ( a + b + c ) + 3 ( ab + bc + ca ) ( 1 )