Câu hỏi

Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau thuộc [0; 2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = ( a − b ) 2 1 + ( b − c ) 2 1 + ( c − a ) 2 1

Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau thuộc [0; 2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{1}{( a - b ) ^{2}} + \frac{1}{( b - c ) ^{2}} + \frac{1}{( c - a ) ^{2}}$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Không mất tính tổng quát giả sử 2 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ 0 . Sử dụng AM - GM: + ⎩ ⎨ ⎧ ( a − b ) 2 1 + ( a − b ) + ( a − b ) ≥ 3 3 ( a − b ) 2 1 . ( a − b ) . ( a − b ) = 3 ( b − c ) 2 1 + ( b − c ) + ( b − c ) ≥ 3 3 ( b − c ) 2 1 . ( b − c ) . ( b − c ) = 3 ⇒ ( a − b ) 2 1 + ( b − c ) 2 1 + 2 ( a − c ) ≥ 6 ⇒ P ≥ ( a − c ) 2 1 − 2 ( a − c ) + 6 Vì 2 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ 0 n e ^ n 0 < a − c ≤ 2 ⇒ P ≥ 2 2 1 − 2.2 + 6 = 4 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 9 , đạt được tại a = 2, b = 1, c = 0 và các hoán vị

Không mất tính tổng quát giả sử $2 \geq a \geq b \geq c \geq 0$ . Sử dụng AM - GM:

$+ ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{( a - b ) ^{2}} + (a - b) + (a - b) \geq 3 3 \frac{1}{( a - b ) ^{2}} . (a - b) . (a - b) = 3 \frac{1}{( b - c ) ^{2}} + (b - c) + (b - c) \geq 3 3 \frac{1}{( b - c ) ^{2}} . (b - c) . (b - c) = 3 \Rightarrow \frac{1}{( a - b ) ^{2}} + \frac{1}{( b - c ) ^{2}} + 2 (a - c) \geq 6 \Rightarrow P \geq \frac{1}{( a - c ) ^{2}} - 2 (a - c) + 6$

Vì

$2 \geq a \geq b \geq c \geq 0 n \overset{e}{^} n 0 < a - c \leq 2 \Rightarrow P \geq \frac{1}{2 ^{2}} - 2.2 + 6 = \frac{9}{4}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{9}{4}$ , đạt được tại a = 2, b = 1, c = 0 và các hoán vị

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c ≥ 0 Min { a ; b } > 0 . Chứng minh rằng: 3 a + b a + 4 4 a + b b ≥ 1 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 1 . Chứng minh: a + b + b + c + c + a ≥ 2 2 3 3 ( 1 + ab + bc + ca ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c > 0. Chứng minh rằng: b 2 c 2 a 7 + c 2 a 2 b 7 + a 2 b 2 c 7 + a 2 b 2 c 2 1 ≥ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab + abc

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ab + bc + ca ≤ a 2 + bc a 3 ( b + c ) + b 2 + ca b 3 ( c + a ) + c 2 + ab c 3 ( a + b ) ≤ ≤ a 2 + b 2 + c 2

Xác nhận câu trả lời

Tại một trạm bán xăng, có n người xếp hàng mua xăng. Mỗi người cần mua một số lượng xăngkhác nhau. Hãy chọn cách sắp xếp thứ tự người mua để tổng số thời gian chờđợi của mọi người là nhỏ nhất.

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG