Câu hỏi

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh: 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 12 ≥ 3 ( a + b + c ) + 3 ( ab + bc + ca ) ( 1 )

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:

$2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 12 \geq 3 (a + b + c) + 3 (ab + bc + ca) (1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

( 1 ) ⇔ ( p 2 − 2 q ) + 12 ≥ 13 p + 3 q ⇔ 2 p 2 − 3 p − 7 q + 12 ≥ 0 ( 2 ) Theo bất đẳng thức Schur ta có: p 3 + 9 r ≥ 4 pq ⇔ 4 q p 3 + 9 r = 4 q p 3 + 9 Từ đó suy ra (2) được chứng minh nếu ta chứng minh được bất đẳng thức: 2 p 2 − 3 p − 4 p 7 ( p 3 + 9 ) + 12 ≥ 0 ⇔ 4 p ( p − 3 ) ( p 2 − 9 p + 21 ) ≥ 0 ⇔ p ≥ 3 Ta có: p = a + b + c ≥ 3 2 abc = 3 ⇒ ( đ pcm ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

$(1) \Leftrightarrow (p^{2} - 2 q) + 12 \geq 13 p + 3 q \Leftrightarrow 2 p^{2} - 3 p - 7 q + 12 \geq 0 (2)$

Theo bất đẳng thức Schur ta có: $p^{3} + 9 r \geq 4 pq \Leftrightarrow \frac{p ^{3} + 9 r}{4 q} = \frac{p ^{3} + 9}{4 q}$

Từ đó suy ra (2) được chứng minh nếu ta chứng minh được bất đẳng thức:

$2 p^{2} - 3 p - \frac{7 ( p ^{3} + 9 )}{4 p} + 12 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{( p - 3 ) ( p ^{2} - 9 p + 21 )}{4 p} \geq 0 \Leftrightarrow p \geq 3$

Ta có: $p = a + b + c \geq 3 2 abc = 3 \Rightarrow (đ pcm)$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Câu hỏi tương tự

Chứng minh: 1 + xln ( x + 1 + x 2 ) ≥ 1 + x 2 , ∀ x ∈ R

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: c ab + a bc + b ca ≥ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: a ( b − c ) 2 + b ( c − a ) 2 + c ( a − b ) 2 + 4 abc > a 3 + b 3 + c 3 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b,c > 0. Chứng minh bất đẳng thức: b + c a 2 + c + a b 2 + a + b c 2 ≥ 2 a + b + c

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: 3 b 2 + c 2 a 2 + bc + 3 c 2 + a 2 b 2 + ca + 3 a 2 + b 2 c 2 + ab ≥ a + b + c 9 3 abc

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện