Câu hỏi

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng c a 3 b 3 + a b 3 c 3 + b c 3 a 3 ≥ 3 ab c

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c = 3$ . Chứng minh rằng

$\frac{a ^{3} b ^{3}}{c} + \frac{b ^{3} c ^{3}}{a} + \frac{c ^{3} a ^{3}}{b} \geq 3 ab c$

R. Roboctvx75

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có c a 3 b 3 + a b 3 c 3 ≥ 2 c a 3 b 3 ⋅ a b 3 c 3 = 2 b 3 a c Tương tự, ta có a b 3 c 3 + b c 3 a 3 ≥ 2 ab c 3 v a ˋ b c 3 a 3 + c a 3 b 3 ≥ 2 a 3 b c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có

$\frac{a ^{3} b ^{3}}{c} + \frac{b ^{3} c ^{3}}{a} \geq 2 \frac{a ^{3} b ^{3}}{c} \cdot \frac{b ^{3} c ^{3}}{a} = 2 b^{3} a c$

Tương tự, ta có

$\frac{b ^{3} c ^{3}}{a} + \frac{c ^{3} a ^{3}}{b} \geq 2 ab c^{3} v \overset{a}{ˋ} \frac{c ^{3} a ^{3}}{b} + \frac{a ^{3} b ^{3}}{c} \geq 2 a^{3} b c$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được

$2 open parentheses fraction numerator a cubed b cubed over denominator c end fraction plus fraction numerator b cubed c cubed over denominator a end fraction plus fraction numerator c cubed a cubed over denominator b end fraction close parentheses greater or equal than 2 a b c open parentheses a squared plus b squared plus c squared close parentheses not stretchy left right double arrow fraction numerator a cubed b cubed over denominator c end fraction plus fraction numerator b cubed c cubed over denominator a end fraction plus fraction numerator c cubed a cubed over denominator b end fraction greater or equal than 3 a b c$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.