Câu hỏi

Cho a,b,c là ba số thực dương.Chứng minh rằng x 2 + yz 2 + y 2 + x z 2 + z 2 + x y 2 ≤ x yz x + y + z

Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{2}{x ^{2} + yz} + \frac{2}{y ^{2} + x z} + \frac{2}{z ^{2} + x y} \leq \frac{x + y + z}{x yz}$

R. Robo.Ctvx28

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có: x 2 + yz ≥ 2 x 2 yz = 2 x yz y 2 + x z ≥ 2 y 2 x z = 2 y x z z 2 + x y ≥ 2 z 2 x y = 2 z x y Do đó x 2 + yz 2 + y 2 + x z 2 + z 2 + x y 2 ≤ x yz 1 + y x z 1 + z x y 1 = x yz x y + yz + z x ≤ x yz 2 x + y + 2 y + z + 2 z + x = x yz x + y + z Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

Ta có: $x^{2} + yz \geq 2 x^{2} yz = 2 x yz$

$y^{2} + x z \geq 2 y^{2} x z = 2 y x z z^{2} + x y \geq 2 z^{2} x y = 2 z x y$

Do đó $\frac{2}{x ^{2} + yz} + \frac{2}{y ^{2} + x z} + \frac{2}{z ^{2} + x y} \leq \frac{1}{x yz} + \frac{1}{y x z} + \frac{1}{z x y}$

$= \frac{x y + yz + z x}{x yz} \leq \frac{\frac{x + y}{2} + \frac{y + z}{2} + \frac{z + x}{2}}{x yz} = \frac{x + y + z}{x yz}$

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z$

Câu hỏi tương tự

Cho △ MNP vuông cân tại M . Trên cạnh NP lấy các điểm E,F sao cho NE = EF = FP . Qua E và F kẻ các đường vuông góc với NP , chúng cắt MN,MP lần lượt tại G,H . Tứ giác EGHF là hình gì?

Xác nhận câu trả lời

Cho hình thang cân ABCD(BC//AD),hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O sao cho .Gọi I,M,N,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,OA,OB,CD.Chứng minh rằng △ A OB = △ D OC

Xác nhận câu trả lời

Cho hình thang cân ABCD(BC//AD),hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O sao cho .Gọi I,M,N,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,OA,OB,CD.CMR đường thẳng OI đi qua trực tâm H của tam giác MNQ

Xác nhận câu trả lời

Cho hình thang cân ABCD(BC//AD),hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O sao cho .Gọi I,M,N,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,OA,OB,CD.CMR tứ giác DMNC là tứ giác nội tiếp

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng với mọi số thực x thì: x 2 − x + 1 3 x 2 + 4 x + 11 ≥ 2

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG