Cho a, b, c ∈ [ 0 , 1 ] . Chứng minh: b + c + 1 a ​ + c + a + 1 b ​ + a + b + 1 c ​ + ( 1 − a ) ( 1 − b ) ( 1 − c ) ≤ 1

Giải thích

Xét f ( a ) = b + c + 1 a ​ + c + a + 1 b ​ + a + b + 1 c ​ + + ( 1 − a ) ( 1 − b ) ( 1 − c ) Ta có: f ′ ( a ) = b + c + 1 1 ​ − ( c + a + 1 ) 2 b ​ − ( a + b + 1 ) 2 c ​ − − ( 1 − b ) ( 1 − c ) f ′′ ( a ) = ( c + a + 1 ) 2 2 b ​ + ( a + b + 1 ) 2 2 c ​ ≥ 0 →f '(a) tăng trên [0, 1]. Xét các trường hợp sau: a. Nếu f ′ ( a ) ≥ 0 ∀ a ∈ [ 0 , 1 ] ⇒ f ( a ) ≤ f ( 1 ) = b + c + 1 1 ​ + c + 1 + 1 b ​ + 1 + b + 1 c ​ ≤ b + c + 1 1 + b + c ​ = 1 b. Nếu f ′ ( a ) ≤ 0 ∀ a ∈ [ 0 , 1 ] ⇒ f ( a ) giảm trên [0,1] ⇒ f ( a ) ≤ f ( 0 ) = c + 1 b ​ + b + 1 c ​ + ( 1 − b ) ( 1 − c ) = b + c + 1 + bc 1 + b + c + b 2 c 2 ​ ≤ b + c + 1 + bc 1 + b + c + bc ​ = 1 c. Nếu f '(x) thay đổi dấu trên đoạn [0,1], khi đó kết hợp với f '(x) la fhamf liên tục và tăng trên [0,1] nên phương trình f '(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = α ∈ ( 0 , 1 ) Từ đó suy ra bảng biến thiên Theo kết quả a và b ta có f ( 0 ) ≤ 1 , f ( 1 ) ≤ 1 Nên suy ra x ∈ [ 0 , 1 ] Max ​ f ( x ) ≤ 1 Dấu bằng xảy ra⇔ (a, b, c) là 1 hoán vị (1, 1, 0) hoặc (1, 0, 0)