Câu hỏi

Cho a,b,c ∈ [ 0 ; 2 ] có a+b+c=3. CMR: a 2 + b 2 + c 2 < 5

Cho a,b,c $\in [0; 2]$ có a+b+c=3. CMR: $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 5$

R. Robo.Ctvx28

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Do a,b,c ∈ [ 0 ; 2 ] n e ^ n ( 2 − a ) ( 2 − b ) ( 2 − c ) ≥ 0 ⇔ 8 − 4 ( a + b + c ) + 2 ( ab + b c + a c ) − ab c ≥ 0 ⇔ 2 ( ab + a c + a c ) ≥ a ( a + b + c ) + ab c − 8 ⇔ 2 ( ab + a c + a c ) ≥ 4 + ab c ≥ 4 ⇔ ( a + b + c ) 2 − ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 4 ⇔ ( a 2 + b 2 + c 2 ) < 5 Dấu "=" xảy ra khi a,b,c có một số bằng 2; một số bằng 0; một số bằng 1.

Do a,b,c $\in [0; 2] n \overset{e}{^} n (2 - a) (2 - b) (2 - c) \geq 0$

$\Leftrightarrow 8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + b c + a c) - ab c \geq 0 \Leftrightarrow 2 (ab + a c + a c) \geq a (a + b + c) + ab c - 8 \Leftrightarrow 2 (ab + a c + a c) \geq 4 + ab c \geq 4 \Leftrightarrow (a + b + c)^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 4 \Leftrightarrow (a^{2} + b^{2} + c^{2}) < 5$