Cho a, b, c > 0 và a ( 1 + 2 a ​ ​ ) + b ( 1 + 2 b ​ ​ ) + c ( 1 + 2 c ​ ​ ) ≥ 12 . Chứng minh: S = a 2 16 ​ + 4 5 b 2 ​ + 2 c ​ + 8 19 a 3 ​ ​ + b 2 16 ​ + 4 5 c 2 ​ + 2 a ​ + 8 19 b 3 ​ ​ + c 2 16 ​ + 4 5 a 2 ​ + 2 b ​ + 8 19 c 3 ​ ​ ≥ 3 29 ​

Giải thích

Dự đoán dấu bằng xảy ra ở điểm rơi: a=b=c=2: + ⎩ ⎨ ⎧ ​ 2 + 5 + 1 + 19 ​ . a 2 16 ​ + 4 5 b 2 ​ + 2 c ​ + 8 19 a 3 ​ ​ ≥ ≥ a 8 ​ + 2 5 b ​ + 2 c ​ ​ + 2 19 a ​ 2 a ​ ​ 2 + 5 + 1 + 19 ​ b 2 16 ​ + 4 5 c 2 ​ + 2 a ​ + 8 19 b 3 ​ ​ ≥ ≥ c 8 ​ + 2 5 c ​ + 2 a ​ ​ + 2 19 b ​ 2 b ​ ​ 2 + 5 + 1 + 19 ​ c 2 16 ​ + 4 5 a 2 ​ + 2 b ​ + 8 19 c 3 ​ ​ ≥ ≥ c 8 ​ + 2 5 a ​ + 2 b ​ ​ + 2 19 c ​ 2 c ​ ​ ​ ⇒ 29 ​ . S ≥ ( a 8 ​ + 2 a ) + ( b 8 ​ + 2 b ) + ( c 8 ​ + 2 c ) + 2 1 ​ ( a + b + c ) + ( 2 a ​ ​ + 2 2 ​ a a ​ ​ ) + ( 2 b ​ ​ + 2 2 ​ b b ​ ​ ) + ( 2 c ​ ​ + 2 2 ​ c c ​ ​ ) + + 9 ( a 2 a ​ ​ + b 2 b ​ ​ + c 2 c ​ ​ ) ≥ 2 a 8 ​ .2 a ​ + 2 b 8 ​ .2 b ​ + 2 c 8 ​ .2 c ​ + 2 1 ​ ( a + b + c ) + 2 2 a ​ ​ . 2 2 ​ a a ​ ​ ​ + 2 2 b ​ ​ . 2 2 ​ b b ​ ​ ​ + 2 2 c ​ ​ . 2 2 ​ c c ​ ​ ​ + + 9 ( a 2 a ​ ​ + b 2 b ​ ​ + c 2 c ​ ​ ) = 15 + 2 3 ​ ( a + b + c ) + 6 ( a 2 a ​ ​ + b 2 b ​ ​ + c 2 c ​ ​ ) + + 3 [ ( 2. 2 a ​ 2 a ​ ​ + 1 ) + ( 2. 2 b ​ 2 b ​ ​ + 1 ) + ( 2. 2 c ​ 2 c ​ ​ + 1 ) ] ≥ 15 + 2 3 ​ ( a + b + c ) + 6 ( a 2 a ​ ​ + b 2 b ​ ​ + c 2 c ​ ​ ) + 3 ( 2 3 a ​ + 2 3 b ​ + 2 3 c ​ ) = 15 + 6 [ a ( 1 + 2 a ​ ​ ) + b ( 1 + 2 b ​ ​ ) + c ( 1 + 2 c ​ ​ ) ] = 15 + 6.12 = 3.29 Vậy S ≥ 3 29 ​ . Đẳng thức xảy ra⇔ a=b=c=2