Câu hỏi

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh: S = 1 − ( 2 a + b ) 2 + 1 − ( 2 b + c ) 2 + 1 − ( 2 c + a ) 2 ≥ 6 (1)

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ . Chứng minh:

$S = 1 - (\frac{a + b}{2})^{2} + 1 - (\frac{b + c}{2})^{2} + 1 - (\frac{c + a}{2})^{2} \geq 6$ (1)

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

( 1 ) ⇔ S 2 ≥ 6 ⇔ 3 − ( 2 a + b ) 2 − ( 2 b + c ) 2 − ( 2 c + a ) 2 + + 2 cyc ∑ 1 − ( 2 a + b ) 2 . 1 − ( 2 b + c ) 2 ≥ 6 ⇔ 2 cyc ∑ 1 − ( 2 a + b ) 2 1 − ( 2 b + c ) 2 − 2 1 ( ab + bc + ca ) ≥ 2 7 Ta có: 1 − ( 2 a + b ) 2 = 2 a 2 + b 2 + c 2 + 2 1 − ( 2 a + b ) 2 = 4 ( a − b ) 2 + 2 1 ( 1 + c 2 ) Biến đổi rồisử dụng bất đẳng thức CBS: 1 − ( 2 a + b ) 2 1 − ( 2 b + c ) 2 = 4 ( a − b ) 2 + 2 1 ( 1 + c 2 ) 4 ( c − b ) 2 + 2 1 ( 1 + a 2 ) ≥ ≥ 4 ( a − b ) ( c − b ) − 2 ( 1 + c 2 ) ( 1 + a 2 ) ≥ ≥ 4 1 ( b 2 + ca − ab − bc ) + 2 1 ( 1 + ca ) Từ đó suy ra 2 cyc ∑ 1 − ( 2 a + b ) 2 1 − ( 2 b + c ) 2 − 2 1 ( ab + bc + ca ) ≥ ≥ 2 1 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 3 = 2 7

$(1) \Leftrightarrow S^{2} \geq 6 \Leftrightarrow 3 - (\frac{a + b}{2})^{2} - (\frac{b + c}{2})^{2} - (\frac{c + a}{2})^{2} + + 2 cyc \sum 1 - (\frac{a + b}{2})^{2} . 1 - (\frac{b + c}{2})^{2} \geq 6 \Leftrightarrow 2 cyc \sum 1 - (\frac{a + b}{2})^{2} 1 - (\frac{b + c}{2})^{2} - \frac{1}{2} (ab + bc + ca) \geq \frac{7}{2}$

Ta có:

$1 - (\frac{a + b}{2})^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{2} + \frac{1}{2} - (\frac{a + b}{2})^{2} = \frac{( a - b ) ^{2}}{4} + \frac{1}{2} (1 + c^{2})$

Biến đổi rồi sử dụng bất đẳng thức CBS:

$1 - (\frac{a + b}{2})^{2} 1 - (\frac{b + c}{2})^{2} = \frac{( a - b ) ^{2}}{4} + \frac{1}{2} (1 + c^{2}) \frac{( c - b ) ^{2}}{4} + \frac{1}{2} (1 + a^{2}) \geq \geq \frac{( a - b ) ( c - b )}{4} - \frac{( 1 + c ^{2} ) ( 1 + a ^{2} )}{2} \geq \geq \frac{1}{4} (b^{2} + ca - ab - bc) + \frac{1}{2} (1 + ca)$

Từ đó suy ra

$2 cyc \sum 1 - (\frac{a + b}{2})^{2} 1 - (\frac{b + c}{2})^{2} - \frac{1}{2} (ab + bc + ca) \geq \geq \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 3 = \frac{7}{2}$

Câu hỏi tương tự

Chứng minh rằng: a 1 + b 1 + c 1 ≥ 4 ( 3 a + b 1 + 3 b + c 1 + 3 c + a 1 ) ∀ a , b , c > 0

Xác nhận câu trả lời

Cho △ ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c; độ dài 3 đường phân giác trong tương ứng với các cạnh a, b, c là l a , l b , l c . Chứng minh: a l a + b l b + c l c ≥ b l a + b l b + a l...

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a 3 c + b 3 a + c 3 b = abc . Chứng minh rằng: S = a 2 + ab b + b 2 + bc c + c 2 + ca b ≥ 2 9

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng: a 2 + bc b 3 + 2 abc + c 3 + b 2 + ca c 3 + 2 abc + a 3 + c 2 + ab a 3 + 2 abc + b 3 ≥ ≥ 2 ( a + b + c ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh: 3 b a + 3 c b ≤ 3 ( a + b ) ( a 2 + b 2 ) , ∀ a , b > 0 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG