Câu hỏi

Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: b + c a + c + a b + a + b c ≥ 2 3

Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Không mất tính tổng quát giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ a + b ≤ a + c ≤ b + c ⇒ { a ≤ b ≤ c b + c 1 ≤ c + a 1 ≤ a + b 1 Sử dụng đẳng thức hoán vị: + { b + c a + c + a b + a + b c ≥ b + c b + c + a c + a + b a b + c a + c + a b + a + b c ≥ b + c c + c + a a + a + b b ⇒ b + c 2 a + c + a 2 b + a + b 2 c ≥ b + c b + c + c + a c + a + a + b a + b = 3 ⇔ b + c a + c + a b + a + b c ≥ 2 3 ( đ pcm ) Đẳng thức xảy ra⇔ a=b=c

Không mất tính tổng quát giả sử $a \leq b \leq c \Rightarrow a + b \leq a + c \leq b + c$

$\Rightarrow {a \leq b \leq c \frac{1}{b + c} \leq \frac{1}{c + a} \leq \frac{1}{a + b}$

Sử dụng đẳng thức hoán vị:

$+ {\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + a} + \frac{a}{a + b} \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{c}{b + c} + \frac{a}{c + a} + \frac{b}{a + b} \Rightarrow \frac{2 a}{b + c} + \frac{2 b}{c + a} + \frac{2 c}{a + b} \geq \frac{b + c}{b + c} + \frac{c + a}{c + a} + \frac{a + b}{a + b} = 3 \Leftrightarrow \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2} (đ pcm)$

Đẳng thức xảy ra ⇔ a=b=c

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c > 0; abc = 1. Chứng minh: a 4 + b 4 + c 4 + 3 ≥ 2 ( c ab + a bc + b ca ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c ∈ R . Chứng minh: ( 1 + a 7 ) ( 1 + b 7 ) ( 1 + c 7 ) ≥ ≥ ( 1 + a 4 b 2 c ) ( 1 + b 4 c 2 a ) ( 1 + ac 4 a 2 b ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a a + b 1 + b b + bc 1 + c c + a 1 ≥ 2 abc 3

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng nếu a, b, c ≥ 0, thì: S = b 2 + 4 1 bc + c 2 a + c 2 + 4 1 ca + ca 2 b + + a 2 + 4 1 ab + b 2 a ≥ 2

Xác nhận câu trả lời

Cho a 1 , a 2 ,...a n > 0 và hai số α , β >0. Chứng minh: a 1 β + a 2 β + ... + a n β a 1 α + β + a 2 α + β + ... + a n α + β ≥ n a 1 α + a 2 α + ... + a n α

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG